具有最小绝对差和的数组元素

题目描述

给定两个长度相等的整数数组 arr1 和 arr2，求它们对应元素之差的绝对值的和的最小值。

即，求 $\sum\limits_{i=1}^{n} |arr1_i - arr2_i|$ 的最小值。

解法1：排序+双指针

思路：

1. 将两个数组排序，假设中间点为mid。
2. 对于arr1[i]，在arr2中找到最接近它的数，可以使用双指针。
3. 计算二者的差，将其绝对值加入答案，i++或j++，继续比较。
4. 返回答案。

时间复杂度：$O(nlogn)$

实现：

def getMinAbsDiffSum(arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
    arr1.sort()
    arr2.sort()

    left, right = 0, len(arr2) - 1
    res = 0
    for num in arr1:
        while left < len(arr2) - 1 and arr2[left] <= num:
            left += 1
        while right > 0 and arr2[right] >= num:
            right -= 1
        res += min(abs(num - arr2[left]), abs(num - arr2[right]))

    return res

解法2：动态规划

思路：

1. 定义二维数组dp[i][j]，表示arr1的前i个数和arr2的前j个数之间的最小差值和。
2. 初始状态为dp[0][0] = 0。
3. 推导状态转移方程，dp[i][j]只能由以下三种状态转移而来：
   • dp[i-1][j] + |arr1[i] - arr2[j]|
   • dp[i][j-1] + |arr1[i] - arr2[j]|
   • dp[i-1][j-1] + |arr1[i] - arr2[j]|
4. 返回dp[-1][-1]，即表示arr1和arr2之间的最小差值和。

时间复杂度：$O(n^2)$

实现：

def getMinAbsDiffSum(arr1: List[int], arr2: List[int]) -> int:
    m, n = len(arr1), len(arr2)
    dp = [[0] * (n+1) for _ in range(m+1)]

    for i in range(1, m+1):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + abs(arr1[i-1] - arr2[0])

    for j in range(1, n+1):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + abs(arr1[0] - arr2[j-1])

    for i in range(1, m+1):
        for j in range(1, n+1):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j] + abs(arr1[i-1] - arr2[j-1]),
                           dp[i][j-1] + abs(arr1[i-1] - arr2[j-1]),
                           dp[i-1][j-1] + abs(arr1[i-1] - arr2[j-1]))

    return dp[-1][-1]

以上就是本题的两种解法，两种解法各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的算法。