具有最小绝对差之和的数组元素|套装2

背景介绍

我们有一个长度为 n 的数组 a，我们需要将它分成 k 个非空连续的子数组，使得每个子数组的中位数之和最小。

具体来说，对于一个长度为 l 的子数组 a[l,b]，中位数是指按升序排列后，排名为 (l + b + 1) / 2 的元素。注意，如果有偶数个元素，则中位数取最小的那个。

现在，我们需要编写一个函数，用来计算这个最小的中位数之和。

基本思路

首先，我们可以预处理出数组 a 的前缀和。然后，我们可以用二分答案的方法来求解该问题。具体来说，我们二分最小的中位数值 x，然后判断是否存在一种分法使得每个子数组的中位数都小于等于 x。

为了判断是否存在这样的一种分法，我们可以使用一维动态规划。具体来说，我们定义 dp[i][j] 表示将前 i 个元素分成 j 个子数组，且每个子数组的中位数都不大于 x 的最小的和。根据题目要求，每个子数组的长度不得小于 1。因此，我们可以枚举最后一个子数组的起始位置 k，然后将前 k 个元素分成 j-1 个子数组，且最后一个子数组包含 k+1 到 i 这些元素。注意到只要最后一个子数组的中位数不大于 x，那么前面的子数组就可以随意划分。因此，我们可以得到以下的转移方程：

dp[i][j] = min(dp[k][j-1] + (i-k)*x - (pre[i]-pre[k]) + (pre[k]-pre[j-1]-x*(k-j+1)))

其中，pre 表示数组 a 的前缀和。

该动态规划的时间复杂度为 O(n^3)。由于我们采用了二分答案的方法，因此总时间复杂度为 O(n^3 log W)，其中 W 表示数组 a 中所有元素的最大值和最小值之差。

代码实现

def minSumOfMedians(a: List[int], k: int) -> int:
    n = len(a)
    inf = float("inf")
    pre = [0] + list(accumulate(a))
    dp = [[inf] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    dp[0][0] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][1] = (i + 1) // 2 * a[i - 1] - pre[i] + pre[(i + 1) // 2]
        for j in range(2, k + 1):
            for k in range(j - 1, i):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[k][j - 1] + (i - k) * a[(k + i) // 2 - 1] - pre[i] + pre[(k + i) // 2] - pre[(k + j - 2) // 2])
    return dp[n][k]

总结

本题是一道比较典型的二分答案和动态规划组合的题目。具体来说，我们使用二分答案来找到可能的最小中位数的取值范围，然后用动态规划来判断是否存在一种分法使得每个子数组的中位数都小于等于该中位数。我们需要注意：由于这道题目中的中位数是具有单调性的，因此我们可以使用单调性来简化动态规划的实现。同时，我们需要注意建模的正确性。对于此题而言，需要注意中位数的定义以及如何处理边界条件。