算法分析 | 作业5 (练习题)

本篇文章是针对算法分析的练习题的解析和讲解，主要包括以下内容：

• 练习题题目及要求
• 解题思路和过程
• 代码实现及复杂度分析

练习题题目及要求

题目1

给定一个长度为n（n > 2）的整数序列A，试写出一个分治算法求解A的最大子段和问题，给出算法的时间复杂度和空间复杂度。

题目2

已知一个长度为n（n > 1）的整数序列A，该序列内元素均不同，请写一个算法求解序列A中的逆序对个数，并分析算法的时间复杂度和空间复杂度。

解题思路和过程

题目1

首先需要明确最大子段和问题的定义：在一个序列中，求出连续子序列（子段）中的最大和，称之为最大子段和。

采用分治算法解决这个问题，可以将问题递归地分成三类，即找到最大子段和在左半边、右半边、跨越中点及中点左右两个部分的重叠区域。

在递归的过程中，需要计算跨越中点区域的最大子段和。可以采用类似归并排序的思想，将跨越中点的子段求和的问题转化为找到最大前缀和和最大后缀和的和。

具体算法实现过程如下：

• 递归求解左半边和右半边的最大子段和
• 求解跨越中点的最大子段和
• 取三个中的最大值作为该问题的最终解

可以证明该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(logn)$。

题目2

若直接求解逆序对的数量，需要做$(n - 1)$次比较，时间复杂度为$O(n^2)$。考虑采用分治算法来优化求解过程。

具体算法实现过程如下：

• 将序列分成两部分递归求解
• 计算左半边中的逆序对数量、右半边中的逆序对数量、跨过中点的逆序对数量
• 三者相加得到该问题的最终解

需要注意的是，跨过中点的逆序对数量需要在分治下去递归计算的时候，要升序排序。

该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(logn)$。

代码实现及复杂度分析

题目1

def max_subsequence_sum(nums, left, right):
    # 递归出口
    if left == right:
        return nums[left]
    # 中间点
    center = (left + right) // 2
    # 分别求左半边、右半边的最大子序列和
    max_left = max_subsequence_sum(nums, left, center)
    max_right = max_subsequence_sum(nums, center + 1, right)

    # 计算跨越中间节点的最大子序列和
    max_left_boarder_sum = float('-inf')
    left_boarder_sum = 0
    for i in range(center, left - 1, -1):
        left_boarder_sum += nums[i]
        if left_boarder_sum > max_left_boarder_sum:
            max_left_boarder_sum = left_boarder_sum

    max_right_boarder_sum = float('-inf')
    right_boarder_sum = 0
    for i in range(center + 1, right + 1):
        right_boarder_sum += nums[i]
        if right_boarder_sum > max_right_boarder_sum:
            max_right_boarder_sum = right_boarder_sum

    # 返回三者中的最大值
    return max(max_left, max_right, max_left_boarder_sum + max_right_boarder_sum)


# 在main函数中，引入测试数据进行测试
data = [1, -3, 10, -3, 10, -1, 1]
print(max_subsequence_sum(data, 0, len(data)-1))

该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(logn)$。

题目2

def count_inversion(nums, left, right):
    # 递归出口
    if left == right:
        return 0, nums[left:left+1]

    center = (left + right) // 2
    # 分别求左右两半边排序后的结果
    left_count, left_sequence = count_inversion(nums, left, center)
    right_count, right_sequence = count_inversion(nums, center + 1, right)
    # 计算结果
    count, sequence = merge(left_sequence, right_sequence)
    return count + left_count + right_count, sequence


def merge(left, right):
    """
    相当于 with open() as f
    """
    res = []
    inversions = 0
    i = j = 0
    while i < len(left) and j < len(right):
        if left[i] <= right[j]:
            res.append(left[i])
            i += 1
        else:
            res.append(right[j])
            j += 1
            inversions += len(left) - i

    res += left[i:] or right[j:]
    return inversions, res


# 在main函数中，引入测试数据进行测试
data = [3, 1, 2, 5, 6, 0, 9, 8]
print(count_inversion(data, 0, len(data)-1)[0])

该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，空间复杂度为$O(logn)$。