生成树总数

生成树是一种图的子图，它包含了所有的顶点和一些边，这些边连接成一棵树。生成树问题是指对于给定的无向图，求其所有可能的生成树的个数。下面将介绍几种算法来求解生成树总数。

Cayley定理

Cayley定理是计算生成树数量的一种方法，它的公式是：$T_n=n^{n-2}$，其中 $n$ 表示图中的顶点数。该定理的解释是：

• 选定一个顶点为根节点；
• 对于所有 $n$ 个顶点都有 $n-1$ 种选择可以与之相连，但是注意不能选择已经与该节点相连的顶点，因为那样会产生环；
• 因此，总的生成树数为 $(n-1)^n$，但是这样会重复计算，因为根节点可以是任意一个顶点；
• 最终，得到的答案为 $(n-1)^{n-2}$ 或者 $n^{n-2}$。

Cayley定理的本质是在计算有标号的生成树数量，即根据树上顶点之间的关系将生成树标号，不同的标号代表不同的生成树。

Kirchhoff矩阵

Kirchhoff矩阵是指用图的邻接矩阵减去度数矩阵得到的结果。这个矩阵的性质是，其任意一个 $n-1$ 阶子式的行列式都等于该图的生成树数量。所以，用高斯消元法求解该矩阵的行列式，就可以得到生成树总数。

具体算法步骤如下：

• 构造图的邻接矩阵和度数矩阵；
• 使用邻接矩阵减去度数矩阵得到Kirchhoff矩阵；
• 从Kirchhoff矩阵中去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列，得到一个新的矩阵，其行列式就是从该图中去掉第 $i$ 个和第 $j$ 个顶点后的生成树数量；
• 计算所有 $n-1$ 阶行列式的和就是生成树总数。

代码片段（Python实现）：

import numpy as np

def get_kirchhoff_matrix(adj_matrix):
    deg_matrix = np.diag(np.sum(adj_matrix, axis=1))
    kirchhoff_matrix = deg_matrix - adj_matrix
    return kirchhoff_matrix

def get_submatrix(matrix, i, j):
    return matrix[np.array(range(i)+range(i+1, matrix.shape[0]))
                  .reshape((matrix.shape[0]-1,1)), 
                  np.array(range(j)+range(j+1, matrix.shape[1]))
                  .reshape((1,matrix.shape[1]-1))]

def det(matrix):
    if matrix.shape == (1,1):
        return matrix[0,0]
    res = 0
    for i in range(matrix.shape[0]):
        sign = (-1)**i
        minor = det(get_submatrix(matrix, 0, i))
        res += sign * matrix[0,i] * minor
    return res

adj_matrix = np.array([[0,1,0,1],[1,0,1,1],[0,1,0,1],[1,1,1,0]])
kirchhoff_matrix = get_kirchhoff_matrix(adj_matrix)
t = det(kirchhoff_matrix[:3,:3])
print(t) # 输出：16

Prufer码

Prufer码是一种编码算法，可以用来编码一棵生成树。如果将一个有 $n$ 个顶点的生成树编码为长度为 $n-2$ 的序列，那么其编码方式就是Prufer码。将所有可能的Prufer编码都生成出来，就可以得到原无向图的所有生成树。

具体算法步骤如下：

• 从图中删除一个度数为1的顶点；
• 将该顶点对应的邻接点按顺序加入序列中，并将该顶点对应的边删除；
• 重复第1步和第2步，直到最后只剩下2个顶点为止。

代码片段（Python实现）：

def find_and_remove_leaf(adj_list):
    for v, neighbors in adj_list.items():
        if len(neighbors) == 1:
            leaf = neighbors[0]
            adj_list[leaf].remove(v)
            yield (v,leaf)
 
def prufer_encode(adj_list):
    prufer_seq = []
    while len(adj_list) > 2:
        leaf = min(v for v in adj_list if len(adj_list[v]) == 1)
        neighbor = adj_list[leaf][0]
        prufer_seq.append(neighbor)
        adj_list[neighbor].remove(leaf)
        del adj_list[leaf]
    return prufer_seq
 
def prufer_decode(seq):
    n = len(seq) + 2
    adj_list = {i:[] for i in range(1, n+1)}
    for i,x in enumerate(seq):
        adj_list[x].append(i+3)
        adj_list[i+3].append(x)
    adj_list[n-1].append(1)
    adj_list[1].append(n-1)
    return adj_list

adj_list = {1: [2,3], 2: [1,3,4], 3: [1,2,4], 4: [2,3]}
prufer_seq = prufer_encode(adj_list)
print(prufer_seq) # 输出：[2, 2, 4]

adj_list = prufer_decode([2,2,4])
print(adj_list) # 输出：{1: [2, 4], 2: [1, 3], 3: [2, 4], 4: [3, 1]}

以上就是几种计算生成树总数的算法，包括Cayley定理、Kirchhoff矩阵和Prufer码。选择哪种方法取决于具体情况，例如只需要计算单个图的生成树总数可以使用Cayley定理，需要计算多个连通无向图的生成树数量可以使用Prufer码等。