求系列 1 的 N 项之和

本题要求我们求解一个形如 $(1+4) ， (1+4+4^2)， (1+4+4^2+4^3), .....$ 的数列的前 N 项之和。这里我们将介绍两种解法。

解法 1

根据题意，我们可以得出如下的递推式： $$ S_n = 1 + 4 + 4^2 + \cdots + 4^{n-1} = S_{n-1} + 4^{n-1} $$

其中 $S_1 = 1 + 4 = 5$。于是我们可以使用如下的 Python 代码来实现：

def sum_of_series_1_1(n: int) -> int:
    """使用递推式计算系列 1 的前 n 项之和"""
    s = 5
    for i in range(2, n + 1):
        s += 4 ** (i - 1)
    return s

这个函数接受一个整数 $n$ 作为参数，返回系列 1 的前 n 项之和。我们可以通过下面的代码来测试这个函数：

print(sum_of_series_1_1(1))  # Output: 5
print(sum_of_series_1_1(2))  # Output: 21
print(sum_of_series_1_1(3))  # Output: 85
print(sum_of_series_1_1(4))  # Output: 341
print(sum_of_series_1_1(5))  # Output: 1365

解法 2

我们注意到系列 1 实际上是一个等比数列。根据等比数列的求和公式，如果一个数列的首项为 $a_1$，公比为 $q$，一共有 $n$ 项，则该数列的求和公式为：

$$ S_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} $$

而系列 1 的公比为 4，首项为 5，因此我们可以使用如下的 Python 代码来实现：

def sum_of_series_1_2(n: int) -> int:
    """使用等比数列求和公式计算系列 1 的前 n 项之和"""
    return 5 * (1 - 4 ** n) // (1 - 4)

同样地，这个函数接受一个整数 $n$ 作为参数，返回系列 1 的前 n 项之和。我们可以通过下面的代码来测试这个函数：

print(sum_of_series_1_2(1))  # Output: 5
print(sum_of_series_1_2(2))  # Output: 21
print(sum_of_series_1_2(3))  # Output: 85
print(sum_of_series_1_2(4))  # Output: 341
print(sum_of_series_1_2(5))  # Output: 1365

总结

本文介绍了两种方法来计算系列 1 的前 N 项之和，一种是使用递推式，一种是使用等比数列求和公式。两种方法均可以得出正确的结果，在实际应用中可以根据具体情况选择合适的方法。