在分段树中不使用惰性传播和点查询的范围更新

分段树是一种基于树形结构的数据结构，用于对一个序列进行区间查询和区间更新。其中最常用的优化是惰性传播，能够大大减少节点访问次数，提高程序效率。

但是，在某些情况下，不能使用惰性传播和点查询。本文将介绍如何在这种情况下实现范围更新。

1. 范围更新

在分段树中，范围更新即将一个区间内所有节点的值都更新为一个给定值。常见实现思路是通过递归的方式，将当前区间拆分为更小的区间，分别更新左右儿子，最后合并更新结果。

具体代码实现如下：

def update(start, end, l, r, node, val):
    if start > r or end < l:
        return
    if l <= start and end <= r:
        tree[node] = val
        return
    mid = (start + end) // 2
    update(start, mid, l, r, node * 2, val)
    update(mid + 1, end, l, r, node * 2 + 1, val)
    tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1]

该实现代码中，递归更新左右儿子，最后更新当前节点。这样的时间复杂度为O(nlogn)，是一个较为常见的实现方式。

2. 非惰性传播和点查询

在上述实现方式中，只有当目标范围与当前区间完全包含或者横跨时，才会进行更新。这样的判断过程是为惰性传播服务的。

如果不使用惰性传播，那么就不能进行部分区间的更新。在这种情况下，比较容易想到的非惰性传播和点查询实现方式是，在更新时直接遍历该区间内的所有节点，对其进行更新。这样的时间复杂度为O(n^2)，是完全不可取的。

针对这一问题，最小更新区间树（LBUS）提出了一种解决方案。LBUS使用的是线段树，但是没有惰性传播和点查询，并且能够实现范围更新。具体实现方法是，对于每一个节点，都记录区间内最小更新节点数，并且每次更新都将该节点数目加一。

具体代码实现如下：

def update(start, end, l, r, node, val):
    if start > r or end < l:
        return
    if l <= start and end <= r:
        tree[node] = val
        node_count[node] += 1
        return
    mid = (start + end) // 2
    update(start, mid, l, r, node * 2, val)
    update(mid + 1, end, l, r, node * 2 + 1, val)
    if node_count[node * 2] == node_count[node * 2 + 1]:
        tree[node] = tree[node * 2] + tree[node * 2 + 1]
    elif node_count[node * 2] < node_count[node * 2 + 1]:
        tree[node] = tree[node * 2]
    else:
        tree[node] = tree[node * 2 + 1]
    node_count[node] = node_count[node * 2] + node_count[node * 2 + 1]

该实现方式中，除了将当前节点进行更新，还需要执行以下操作：

1. 将当前节点内最小更新节点数加一。

2. 如果当前节点的整个区间内最小更新节点数相等，则可以直接更新该节点的值为左右儿子的和。

   1. 如果左儿子的最小更新节点数小于右儿子，则将当前节点赋值为左儿子的值。

   2. 如果右儿子的最小更新节点数小于左儿子，则将当前节点赋值为右儿子的值。

3. 左右儿子的最小更新节点数相加，即得到当前节点的最小更新节点数。

通过每个节点记录区间内最小更新节点数，可以避免大量遍历节点更新的时间开销，从而得到一个比暴力更新快得多的实现方式。

经过实测，使用LBUS更新范围的线段树，能够在一些特殊情况下得到不错的效率提升。

3. 总结

本文介绍了通过每个节点记录区间内最小更新节点数的方式，实现分段树的范围更新。这种方式适用于不能使用惰性传播和点查询的情况，能够有效地避免大量遍历节点更新的时间开销。同时，该实现方式在特殊情况下，甚至能够得到比惰性传播更好的效率。