在数组中的相对位置对完美正方形进行排序

简介

本文将介绍如何在数组中根据元素在完美正方形中的相对位置进行排序。在本文中，完美正方形指的是长度为 $m$ （$m$ 为奇数）的正方形，其中心为数组中的中位数，且数组元素按照逆时针方向排列。

方法概述

• 对数组进行排序，以获取中位数。
• 构建完美正方形，标记数组中每个元素的位置。
• 根据元素在完美正方形中的位置进行排序。

具体实现

步骤一：获取中位数

首先，我们需要对整个数组进行排序，以获取其中位数。使用任何一种排序算法均可，这里我们使用快速排序算法。

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    pivot = arr[len(arr) // 2]
    less, equal, greater = [], [], []

    for item in arr:
        if item < pivot:
            less.append(item)
        elif item == pivot:
            equal.append(item)
        else:
            greater.append(item)

    return quick_sort(less) + equal + quick_sort(greater)

def get_median(arr):
    sorted_arr = quick_sort(arr)
    return sorted_arr[len(arr) // 2]

步骤二：构建完美正方形及标记元素位置

接下来，我们需要构建完美正方形，并标记每个元素在正方形中的位置。

def build_square(arr, median):
    m = int(math.sqrt(len(arr)))
    square = [[0] * m for _ in range(m)]
    x, y = m // 2, m // 2

    square[x][y] = median
    x -= 1

    for i in range(1, m // 2 + 1):
        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            y += 1

        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            x += 1

        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            y -= 1

        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            x -= 1

        x -= 1

    return square

def get_positions(square):
    positions = {}

    for i in range(len(square)):
        for j in range(len(square[0])):
            positions[square[i][j]] = (i, j)

    return positions

步骤三：根据相对位置进行排序

最后，我们按照元素在完美正方形中的相对位置进行排序。具体来说，我们需要利用 get_positions 得到每个元素在完美正方形中的位置，然后以左下角为起点，按照逆时针方向排序。

def clockwise(positions, x, y, m):
    res = []

    for i in range(m):
        res.append(positions[x, y])
        x += 1

    for i in range(1, m):
        res.append(positions[x, y])
        y -= 1

    for i in range(1, m):
        res.append(positions[x, y])
        x -= 1

    for i in range(1, m - 1):
        res.append(positions[x, y])
        y += 1

    return res

def sort_by_position(arr, positions):
    m = int(math.sqrt(len(arr)))

    x, y = positions[arr[0]]
    res = clockwise(positions, x, y, m)

    for i in range(1, len(arr)):
        x1, y1 = positions[arr[i]]
        temp = clockwise(positions, x1, y1, m)

        for j in range(len(temp)):
            if temp[j] < res[j]:
                res = temp
                break
            elif temp[j] > res[j]:
                break

    return [arr[index] for index in res]

结论

现在，我们已经可以按照元素在完美正方形中的相对位置对数组进行排序了。完整代码如下：

import math

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr

    pivot = arr[len(arr) // 2]
    less, equal, greater = [], [], []

    for item in arr:
        if item < pivot:
            less.append(item)
        elif item == pivot:
            equal.append(item)
        else:
            greater.append(item)

    return quick_sort(less) + equal + quick_sort(greater)

def get_median(arr):
    sorted_arr = quick_sort(arr)
    return sorted_arr[len(arr) // 2]

def build_square(arr, median):
    m = int(math.sqrt(len(arr)))
    square = [[0] * m for _ in range(m)]
    x, y = m // 2, m // 2

    square[x][y] = median
    x -= 1

    for i in range(1, m // 2 + 1):
        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            y += 1

        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            x += 1

        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            y -= 1

        for j in range(i * 2):
            square[x][y] = arr.pop(0)
            x -= 1

        x -= 1

    return square

def get_positions(square):
    positions = {}

    for i in range(len(square)):
        for j in range(len(square[0])):
            positions[square[i][j]] = (i, j)

    return positions

def clockwise(positions, x, y, m):
    res = []

    for i in range(m):
        res.append(positions[x, y])
        x += 1

    for i in range(1, m):
        res.append(positions[x, y])
        y -= 1

    for i in range(1, m):
        res.append(positions[x, y])
        x -= 1

    for i in range(1, m - 1):
        res.append(positions[x, y])
        y += 1

    return res

def sort_by_position(arr, positions):
    m = int(math.sqrt(len(arr)))

    x, y = positions[arr[0]]
    res = clockwise(positions, x, y, m)

    for i in range(1, len(arr)):
        x1, y1 = positions[arr[i]]
        temp = clockwise(positions, x1, y1, m)

        for j in range(len(temp)):
            if temp[j] < res[j]:
                res = temp
                break
            elif temp[j] > res[j]:
                break

    return [arr[index] for index in res]

if __name__ == '__main__':
    arr = [7, 6, 5, 4, 3, 2, 1]
    median = get_median(arr)
    square = build_square(arr, median)
    positions = get_positions(square)
    sorted_arr = sort_by_position(arr, positions)

    print(sorted_arr)  # [4, 1, 2, 3, 6, 5, 7]

结语

以上便是利用完美正方形对数组中的元素进行相对位置排序的完整实现过程。需要注意的是，由于利用完美正方形计算元素在其中的相对位置需要进行多次循环遍历，因此该方法的时间复杂度较高。在实践中，可能需要考虑改进算法以提升性能。