O(n)中二叉树的直径[一种新方法]

在二叉树中，路径是指从一个节点到另一个节点所经过的边的集合，路径的长度是指经过的边的数量。二叉树的直径是指其中最长的路径。

常规的求解直径算法是：对于每个节点，计算它的左子树高度和右子树高度，将它们相加得到以该节点为根节点的路径长度。然后递归对该节点的左右子树进行同样的计算。这个算法的时间复杂度是O(n^2)，其中n是二叉树中节点的数量。

但是，我们还有一种新的方法可以在O(n)的时间内求解二叉树的直径。

算法实现

我们可以递归地遍历二叉树，每个递归返回它的深度d和以它为根节点的直径D。此外，我们还需要记录直径经过的节点数目maxd。

我们发现，在计算当前节点的深度和直径时，只需要知道它的左右子树的深度和直径，而不需要关心左右子树的具体结构。于是我们可以递归计算左右子树的深度和直径。

对于当前节点，它的深度和直径可以通过以下计算得到：

depth = max(depth(left), depth(right)) + 1   //深度为当前节点的左右子树深度的最大值+1
diameter = max(diameter(left), diameter(right), depth(left)+depth(right))   //直径为当前节点的左右子树直径与左右子树深度之和的最大值

最后，我们将直径D更新为当前节点的直径d和以它为根节点的直径D的最大值，并将maxd更新为以当前节点为根节点的最长直径和原来的maxd之间的最大值。

代码实现

本算法的代码实现相对较简单，关键在于递归计算深度和直径，以及更新maxd的值。下面是一个Java实现的参考代码。

class TreeNode {
    int val;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

public class Solution {
    private int maxd;
    
    public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) {
        maxd = 0;
        depth(root);
        return maxd;
    }

    private int[] depth(TreeNode node) {
        if (node == null)
            return new int[] {0, 0};
        int[] left = depth(node.left);
        int[] right = depth(node.right);
        int d = Math.max(left[0], right[0]) + 1;
        int dia = Math.max(left[1], Math.max(right[1], left[0] + right[0]));
        maxd = Math.max(maxd, dia);
        return new int[] {d, dia};
    }
}

总结

本算法和常规算法相比理论复杂度相同，但实际运行时间更快。这是因为常规算法在计算每个节点的深度和直径时，会重复计算一些子树的深度和直径。而本算法将这些计算合并在一起，避免了重复计算。此外，本算法还利用了空间换时间的策略，将计算深度和直径的结果存储在递归返回的数组中，避免了二次递归。