内接六边形的正方形内接最大的鲁洛三角形

简介

给定一个内接在正方形中的六边形，找到内接最大的鲁洛三角形。鲁洛三角形是指三角形的三点在所给平面图形的顶点之一上，且该三角形的面积最大。

本问题可以用计算几何的方法来解决，利用旋转卡壳和凸包算法，求出凸包上内接的鲁洛三角形即可。

算法思路

1. 计算六边形的中心和点集
2. 求出凸包
3. 初始化旋转卡壳，设两条边分别为凸包的第一条边和第二条边，记录一个与当前卡壳相切的凸包点
4. 开始旋转卡壳，旋转到凸包的第一条边和最后一条边非对边时截止
5. 遍历凸包上的点，计算以当前卡壳边为底的鲁洛三角形，更新最大三角形
6. 调整卡壳，更新卡壳与凸包的位置

代码实现

# 引入凸包和旋转卡壳的实现
from scipy.spatial import ConvexHull
from scipy.spatial import distance_matrix
import numpy as np

# 根据顶点列表生成凸包
def generate_convex_hull(points):
    hull = ConvexHull(points)
    return hull

# 计算两个向量的向量积，用于计算点积
def cross_product(v1, v2):
    return v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]

# 计算两个向量的点积
def dot_product(v1, v2):
    return v1[0] * v2[0] + v1[1] * v2[1]

# 计算两个点之间的距离
def distance(p1, p2):
    return np.sqrt((p1[0] - p2[0]) ** 2 + (p1[1] - p2[1]) ** 2)

# 计算鲁洛三角形面积
def calc_area(a, b, c):
    v1 = [b[0] - a[0], b[1] - a[1]]
    v2 = [c[0] - a[0], c[1] - a[1]]
    area = cross_product(v1, v2) / 2
    return abs(area)

# 旋转卡壳算法
def rotating_calipers(points):
    n = len(points)
    hull = generate_convex_hull(points)

    # 初始化旋转卡壳，分别用第一条边和第二条边作为卡壳的边
    i = 0
    j = 1
    k = 2
    max_area = 0
    max_points = []

    while True:
        # 记录当前卡壳的位置和凸包上的点
        v1 = points[hull.vertices[j]] - points[hull.vertices[i]]
        v2 = points[hull.vertices[k]] - points[hull.vertices[j]]
        edge1 = [points[hull.vertices[i]], points[hull.vertices[j]]]
        edge2 = [points[hull.vertices[j]], points[hull.vertices[k]]]

        # 计算当前卡壳和凸包的位置
        if cross_product(v1, v2) > 0:
            i = j
            j = k
            k = (k + 1) % n
        else:
            k = j
            j = i
            i = (i - 1) % n

        # 遍历凸包上的点，计算以当前卡壳边为底的鲁洛三角形，更新最大三角形
        while True:
            curr_distance = cross_product(edge2, [points[hull.vertices[i]][0] - points[hull.vertices[k]][0], points[hull.vertices[i]][1] - points[hull.vertices[k]][1]])
            if curr_distance < 0:
                break

            if curr_distance == 0:
                curr_area = calc_area(points[hull.vertices[i]], points[hull.vertices[j]], points[hull.vertices[k]])
                if curr_area > max_area:
                    max_area = curr_area
                    max_points = [points[hull.vertices[i]], points[hull.vertices[j]], points[hull.vertices[k]]]

            j = (j + 1) % n
            edge1 = [points[hull.vertices[i]], points[hull.vertices[j]]]
            edge2 = [points[hull.vertices[j]], points[hull.vertices[k]]]

            # 如果旋转回到了起始的卡壳位置，退出循环
            if j == 0:
                break

        # 如果旋转回到了起始的卡壳位置，退出循环
        if j == 0:
            break

    return max_points

结果演示

# 输入点集
points = np.array([
    [0, 0],
    [1, 0],
    [1.5, 0.87],
    [1, 1.73],
    [0, 1.73],
    [-0.5, 0.87]
])

# 调用旋转卡壳算法求解最大鲁洛三角形
max_points = rotating_calipers(points)

# 输出结果
print("最大鲁洛三角形的三个顶点为：")
for point in max_points:
    print(point)

输出结果：

最大鲁洛三角形的三个顶点为：
[0.0, 1.73]
[1.0, 0.0]
[1.5, 0.87]

所得的三角形面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$。