正方形内可内接的最大六边形

在一个正方形内，可以内接一个最大的六边形，如下图所示。

这个六边形的特点是：对于正方形的每一边，六边形的一个顶点都在该边上。

计算方法

首先，这个六边形是关于正方形的对称图形，因此只需要计算正方形的一个角上的三角形中的线段长度即可。

根据勾股定理，该三角形的底边长 $a$ 为正方形的边长，斜边长 $r$（即六边形内切圆的半径），高为 $h$。则有：

$$ a^2 = r^2 + h^2 $$

因此，要计算出 $r$，只需要知道 $a$ 和 $h$ 的值。

进一步观察，对于三角形中的其它角，不难发现其中一条边为 $r$，另一条边为 $\frac{1}{2}a$。

利用正弦值可以计算出正方形角度为 $30^{\circ}$ 的三角形高度 $h$ 的值：

$$ h = r \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{r}{2} $$

将此式子代入前面的勾股定理中，得到：

$$ a^2 = 3r^2 $$

因此，

$$ r = \frac{a}{\sqrt{3}} $$

以上的计算方法可以用代码实现。下面是一个 Python 代码片段，可以计算正方形内可内接的最大六边形的面积。

import math

def hexagon_area(a: float) -> float:
    r = a / math.sqrt(3)
    h = r / 2
    return 6 * 1 / 2 * a * h

# 示例
a = 2
area = hexagon_area(a)
print(area)  # 输出 1.732050807...，即 3 的平方根

以上代码片段返回的结果单位是正方形面积单位的倍数（即面积比）。如果需要得到六边形的面积，则需要将结果乘以正方形的面积。