谜题 21 | (三只蚂蚁和三角形)

背景

该问题源自美国加利福尼亚州一所大学的数学系教授列纳德·伯恩斯坦，被广泛传播和引用。

题目描述

三只蚂蚁分别在边长为1的等边三角形的三个顶点上，开始时它们的行进速度相同，且都沿着它们所在的边往逆时针方向前进。

当蚂蚁遇到另一只蚂蚁时，它们会掉头并相反方向行进。假设蚂蚁的行进速度很快，这表明当两只蚂蚁相遇后，它们会立刻掉头而不是弹开再行进。在这种情况下，蚂蚁是否会相遇？如果会，它们相遇的概率是多少？

解析

这个问题看似很奇怪，但实际上并不难解决。我们可以通过暴力法来解决此问题，即通过计算每种可能情况的概率，并将它们加起来。这样做的时间复杂度是 $O(2^6)$，即 $64$ 种可能性。但是，还有一种更简洁的方法，可以快速准确地解决此问题。

通过分析，我们可以发现，三只蚂蚁必定会相遇。因为每只蚂蚁都会继续沿着三角形的边行进，所以它们一定会碰到。但是，我们并不能预测它们将相遇在哪个点上。

我们考虑这个问题的对称性和无序性。显然，当三只蚂蚁沿着三角形的边行进时，它们将每隔 $120$ 度相遇一次。因此，它们将以三种不同的方式相遇。此外，由于问题不涉及到蚂蚁的标识，我们可以随意重新编号它们，这样它们的行进路径和彼此相遇的地点都不变。因此，我们可以假设三只蚂蚁沿逆时针方向行进，第一只蚂蚁遇到第二只蚂蚁后掉头，第二只蚂蚁遇到第三只蚂蚁后掉头，而第三只蚂蚁遇到第一只蚂蚁后掉头。在这种假设下，我们可以确定它们相遇的唯一位置是三角形的重心。

因此，三只蚂蚁相遇的概率是 $1$。这个答案看似很简单，但隐藏着问题的结构和对称性以及无序性，从而体现了它的美妙之处。

总结

这个问题看似简单，但是涉及到对称性和无序性的处理。通过运用这些数学概念，我们可以轻松地解决这个问题，并获得一个简单而优美的答案。

# 伪代码
def solve():
    return 1