谜题 13 | (100名戴红黑帽子的囚犯)

该谜题是经典的逻辑思维题，题干大意如下：

在黑暗的夜晚，有100名囚犯被关在一起。他们每个人都戴着一个黑帽子或红帽子，而且每个人都不知道自己戴的是哪一种帽子。囚犯们排成一排，从最后一位到第一位编号为1到100。从编号为1的囚犯开始，监狱长开始逐个询问每个囚犯，他们需要回答自己所戴的帽子颜色。回答正确则获得释放，回答错误则会被处决。囚犯们可以听到之前的回答，但是看不到自己头上的帽子颜色，他们可以事先商量策略，但是不能改变。请问有多少人最少可以获得自由？

解题思路

为了获得自由，囚犯们需要在有限的信息下作出正确的判断。首先，我们可以将问题抽象成数据结构的形式，按编号给每个囚犯分配一个变量，变量的取值为1或0，分别表示戴黑帽子和红帽子。设i表示囚犯的编号，则第i个囚犯所戴的帽子颜色为h_i。一个经典的策略是利用奇偶性的性质。根据题意，监狱长从第1个囚犯开始向后逐个询问。假设前i-1个囚犯已经作出了回答，则第i个囚犯可以根据前i-1个囚犯所回答的帽子颜色的奇偶性来判断自己所戴的帽子颜色。具体地，设r_i为第i个囚犯所回答的帽子颜色（0表示黑，1表示红）。则有以下两种情况：

情况1

前i-1个囚犯所回答的帽子颜色为黑的数量为偶数，即：

$$ \sum_{j=1}^{i-1}\left(1-h_j\right)\equiv 0\pmod 2 $$

则第i个囚犯所戴的帽子颜色为红色。因为如果第i个囚犯所戴的是黑帽子，则前i-1个囚犯所戴的黑帽子数量为奇数，与上式不符合。而如果第i个囚犯所戴的是红帽子，则前i-1个囚犯所戴的黑帽子数量为偶数，与上式相符合。因此，第i个囚犯所戴的帽子颜色为红色。

情况2

前i-1个囚犯所回答的帽子颜色为黑的数量为奇数，即：

$$ \sum_{j=1}^{i-1}\left(1-h_j\right)\equiv 1\pmod 2 $$

则第i个囚犯所戴的帽子颜色为黑色。原因与情况1类似。

将上述策略表示为代码如下：

hat = [randrange(2) for _ in range(100)] # 模拟100名囚犯戴帽子的结果，黑色为0，红色为1

def strategy1():
    ans = []
    sum_ = 0
    for i in range(100):
        sum_ += hat[i]
        ans.append(sum_ % 2 == 0)
    return ans

def strategy2():
    ans = []
    sum_ = 0
    for i in range(100):
        sum_ += 1 - hat[i]
        ans.append(sum_ % 2 == 0)
    return ans

以上是本题的解题思路和代码实现。可以看出，本题需要考察程序员的逻辑思维和数据结构基础，同时需要灵活运用数学知识和编程技能。

总结

本题是一道经典的逻辑思维题，需要运用奇偶性的性质，最少可以有50名囚犯获得自由。本题的代码实现需要运用列表和循环语句等基础知识，同时需要进一步思考算法的优化和复杂度分析等高级问题。通过解题过程，可以帮助程序员增强逻辑思维和数据结构基础，提高编程能力。