使用多个1或2个步骤以及单个3个步骤，计算到达第N个楼梯的方式

问题描述

假设有一个楼梯，有n级台阶。每次可以迈上1步、2步或者3步，问走完n级台阶有多少种不同的走法。

解决方案

方法一

这是一个典型的动态规划问题。

我们设 $f(n)$ 表示走到楼梯第 $n$ 级台阶的不同走法总数。

对于走到的当前楼梯的级数，我们有三个选择：走 1 步、走 2 步或者走 3 步。因此，我们可以得到状态转移方程：

$f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)$

其中，初始状态为：

$f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 4$

时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(n)$。

代码实现如下：

def climbStairs(n: int) -> int:
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 4
    dp = [0] * (n+1)
    dp[1], dp[2], dp[3] = 1, 2, 4
    for i in range(4, n+1):
        dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]
    return dp[n]

方法二

事实上，对于这种问题，还存在一种更加简洁的解法。

分析问题可知，对于一个长度为 $n$ 的跳跃序列，我们可以把它分解为一个长度为 $n-1$ 的跳跃序列再跳 1 步，或者一个长度为 $n-2$ 的跳跃序列再跳 2 步，或者一个长度为 $n-3$ 的跳跃序列再跳 3 步。

这就是一个斐波那契数列，根据斐波那契数列的定义，我们可以得到状态转移方程：

$f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)$

其中，初始状态为：

$f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 4$

时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(1)$。

代码实现如下：

def climbStairs(n: int) -> int:
    if n <= 0:
        return 0
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 2
    if n == 3:
        return 4
    a, b, c = 1, 2, 4
    for i in range(4, n+1):
        a, b, c = b, c, a+b+c
    return c

总结

本题是一个经典的动态规划问题，可以使用递归、记忆化搜索或者迭代式动态规划等不同的方法求解。在本题中，使用迭代式动态规划的思想可以让计算时间和空间复杂度得到优化，代码实现也更加简单和高效。