最大化每个元素与剩余数组的绝对差之和之间的差

问题描述：给定一个长度为n的数组a，找到一个排列p，使得对于每个i（1<=i<=n），都有:

|a[i]-a[p[1]]| >= |a[i]-a[p[2]]| >= ... >= |a[i]-a[p[n]]|

其中p[k]表示排列p中第k个位置上的数。

令s=∑|a[i]-a[p[i]]|，表示这个排列下每个数与其它所有数的绝对差之和。

我们希望找到一个排列p，使得它最大化每个元素与剩余数组的绝对差之和之间的差，即max(s1-s2)，其中s1代表在最优排列下每个元素与剩余数组的绝对差之和，s2代表在任意排列下每个元素与剩余数组的绝对差之和（即数组a整体的绝对差之和）。

解决思路

首先，我们可以为问题定义一个目标函数：

f(p) = ∑|a[i]-a[p[i]]| - ∑|a[i]-a[π[i]]|

π表示任何可能的排列，i表示数组的下标。

f(p)的值即为两个差值之差，其中一个差值表示最优排列下每个元素与剩余数组的绝对差之和，另一个差值表示在任意排列下每个元素与剩余数组的绝对差之和。我们希望通过最大化f(p)的值来找到最优排列。

为了方便起见，我们可以先将数组进行排序，这样可以保证的是，当前排列中左侧的值一定比右侧的值小。然后，我们可以想到，将排序后的数组中的每一个数按照大小顺序，分别放到原数组的奇偶位上。

举个例子：假设原数组为[1, 4, 2, 6, 5]，排序后的数组为[1, 2, 4, 5, 6]。

按照上述方法排列后，得到的新数组为[1, 4, 2, 5, 6]。这样，我们可以发现，对于任意一个元素i，它左边的数和右边的数的绝对差之和就是：

|a[i]-a[1]| + |a[i]-a[3]| + ... + |a[i]-a[n-1]|

(n-1)/2 表示左半部分大小。

|a[i]-a[2]| + |a[i]-a[4]| + ... + |a[i]-a[n]|

(n-1)/2 表示右半部分大小。

因为排序后每个位置上的数都是单调递增的，所以任意一个数i一定会出现在其中一个特定区间的左侧。我们只需要比较这两个区间的大小即可。即：

f(p) = (n-1) * ∑(i=1,n/2,2) (a[2*i]-a[2*i-1]) - ∑(i=1,n) a[i]

时间复杂度：O(n * log n)

代码实现

def max_diff(arr):
    n = len(arr)
    arr.sort()
    s1 = 0
    for i in range(1, n, 2):
        s1 += arr[i] - arr[i - 1]
    s1 *= (n - 1) // 2
    s2 = sum(abs(arr[i] - arr[j]) for i in range(n) for j in range(n))
    return s1 - s2

代码片段中定义了一个函数 max_diff，其参数 arr 是一个需要处理的数组。

函数的第一步是对输入数组进行排序，接下来通过公式计算出 s1 和 s2，并返回 max(s1-s2)。时间复杂度为 O(n * log n)。