每个数组元素出现索引的绝对差之和

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $nums$，其中 $0\leq i<n$，计算每个 $nums[i]$ 出现的索引之差的绝对值之和。

示例

输入：$[1,4,2,6,8,2,1,6]$

输出：$24$

解释：对于 $nums[0]=1$，其索引之差的绝对值之和为 $0+6+5+3+2+5+6=27$。同理，其他元素的绝对值之和为 $3+0+4+8+10+4+3+8=40$，因此数组元素出现索引的绝对差之和为 $27+40=67$。

算法1

我们首先可以考虑暴力枚举，对于第 $i$ 个数，我们可以循环一遍整个数组，计算它出现的索引之差的绝对值之和，时间复杂度为 $O(n^2)$，不过这显然不是最优解。

代码实现

def get_absolute_difference(nums):
    n = len(nums)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            res += abs(nums[i] - nums[j]) * (i - j)
    return res

算法2

我们可以利用数学知识进行优化。首先我们可以先统计每个数出现的次数，然后计算每个数之间的距离之和。假设 $nums[i]$ 出现了 $cnt[i]$ 次，那么对于所有的 $nums[i]$ 和 $nums[j]$，它们之间的距离之和即为 $cnt[i]\times cnt[j] \times |i-j|$。我们遍历数组并计算距离之和即可，时间复杂度为 $O(n)$。

代码实现

def get_absolute_difference(nums):
    n = len(nums)
    cnt = {}
    for num in nums:
        if num not in cnt:
            cnt[num] = 1
        else:
            cnt[num] += 1
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            res += cnt[nums[i]] * cnt[nums[j]] * abs(i - j)
    return res

总结

本题的算法本质上并不难，但如果理解不深入，可能会比较迷糊。因此在学习算法时，一定要多思考、多理解，不断提高代码的可读性和可维护性。