计算前缀数组中最大值小于后缀数组中的最大值的索引

在处理数组时，我们常常需要找到最大值或者最小值，同时需要考虑它们的位置，即索引。在一些场景下，需要计算一个数组的前缀或后缀中最大的值，并找到使得前缀中最大值小于后缀中最大值的位置。这个问题在程序设计和算法竞赛中是比较常见的，本篇文章将给出分析过程和解决方法。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，找到一个 $k$，满足 $0 \leq k < n$，并且满足前缀中的最大值小于后缀中的最大值。即： $$ \max_{i=0}^{k}a_i < \max_{i=k+1}^{n-1}a_i $$ 注意，这里的 $\max$ 表示取最大值的操作。

分析过程

为了方便讨论，我们将 $a$ 数组分成前缀和后缀两个部分： $$ a = [a_0, a_1, ..., a_{k-1}, a_k, a_{k+1}, ..., a_{n-1}] $$

假设我们已经知道了前 $k$ 个数的最大值 $maxPrefix$ 和后 $n-k$ 个数的最大值 $maxSuffix$，那么根据上面的式子进行判断就可以得到是否满足条件。我们可以遍历整个数组，每次只需要更新 $maxPrefix$ 和 $maxSuffix$ 即可，时间复杂度为 $O(n)$。那么问题就变成如何快速计算 $maxPrefix$ 和 $maxSuffix$。

对于前缀最大值的计算，可以用前缀数组 $p$ 来求解。前缀数组的定义为： $$ p_i = \max_{j=0}^{i}a_j $$ 这个数组可以预处理出来，时间复杂度为 $O(n)$。那么 $maxPrefix$ 就是 $p_k$。

对于后缀最大值的计算，可以用后缀数组 $s$ 来求解。后缀数组的定义为： $$ s_i = \max_{j=i}^{n-1}a_j $$ 同样可以预处理出来，时间复杂度为 $O(n)$。那么 $maxSuffix$ 就是 $s_{k+1}$。

现在问题就变成了如何求 $k$，使得 $p_k < s_{k+1}$。注意到这个式子中左边的 $p_k$ 与右边的 $s_{k+1}$ 都是单调不降的，所以我们可以尝试用二分法来求解。具体来说，我们可以在 $[0, n-2]$ 的范围内二分查找。

在二分查找时，我们先假设一个中间点 $mid = (l+r)/2$，其中 $l$ 和 $r$ 分别为查找范围的左右边界。然后计算 $p_{mid}$ 和 $s_{mid+1}$，如果 $p_{mid} < s_{mid+1}$，那么表示左边有可能存在符合条件的 $k$，我们将查找范围缩小到 $[l, mid]$。否则，表示右边有可能存在符合条件的 $k$，我们将查找范围缩小到 $[mid+1, r]$。循环进行以上操作直到 $l=r$，此时 $l$ 即为所求的 $k$。

可以证明，该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

解决方法

下面给出代码实现，Java 版本：

public static int findIndex(int[] a) {
    int n = a.length;
    int[] p = new int[n];
    int[] s = new int[n];
    int maxPrefix = a[0], maxSuffix = a[n-1];
    p[0] = maxPrefix;
    s[n-1] = maxSuffix;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        maxPrefix = Math.max(maxPrefix, a[i]);
        p[i] = maxPrefix;
    }
    for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
        maxSuffix = Math.max(maxSuffix, a[i]);
        s[i] = maxSuffix;
    }
    for (int i = 0; i < n-1; i++) {
        if (p[i] < s[i+1]) {
            // 二分查找 k
            int l = 0, r = i;
            while (l < r) {
                int mid = (l + r) / 2;
                if (p[mid] < s[mid+1]) {
                    l = mid + 1;
                } else {
                    r = mid;
                }
            }
            return l;
        }
    }
    return -1; // 没有符合要求的 k
}

Python 版本：

def find_index(a):
    n = len(a)
    p = [0] * n
    s = [0] * n
    max_prefix = a[0]
    for i in range(n):
        max_prefix = max(max_prefix, a[i])
        p[i] = max_prefix
    max_suffix = a[n-1]
    for i in range(n-1, -1, -1):
        max_suffix = max(max_suffix, a[i])
        s[i] = max_suffix
    for i in range(n-1):
        if p[i] < s[i+1]:
            # 二分查找 k
            l, r = 0, i
            while l < r:
                mid = (l + r) // 2
                if p[mid] < s[mid+1]:
                    l = mid + 1
                else:
                    r = mid
            return l
    return -1 # 没有符合要求的 k

总结

本篇文章给出了一个常见的问题：计算前缀数组中最大值小于后缀数组中的最大值的索引。我们分析了该问题的求解思路，并给出了具体的实现方法。该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$。