数为N的不同幂，使得总和等于K

问题描述

求出一个正整数 N 和一个非负整数 K，使得 N 的某些不同次幂的和等于 K。

例如，如果 N = 2，K = 10，则可能的幂为 2^0 = 1，2^1 = 2，2^3 = 8，它们的和为 11 > 10，因此不满足条件。

解决方案

首先，我们可以先考虑 K 和 N 之间的关系。考虑 N 的 0 次幂，即 1，那么需要在 K 中减去 1，得到新的 K1 值。接下来，考虑 N 的 1 次幂，即 N，需要在 K1 中减去 N，得到新的 K2 值。以此类推，直到新的 K 值小于等于 0，或者找到了符合条件的 N 和 K。

具体的算法实现可以使用递归，每次递归传入当前的 N 和 K 值，如果当前的 K 值小于等于 0，则递归结束；否则，对于当前的 N 值，分别计算 N 的 0 次幂、1 次幂、2 次幂……直到 N 的某次幂超过 K 值或者 N 的上限值，递归求解余下的 K 值。

下面是 Python 代码实现：

def find_powers(n, k):
    if k <= 0:
        return []
    powers = [1]
    for i in range(1, k.bit_length()+1):
        power = n ** i
        if power > k:
            break
        powers_with_i = [power + x for x in find_powers(n, k-power)]
        powers.extend(powers_with_i)
    return list(sorted(set(powers)))

# 示例
powers = find_powers(2, 10)
print(powers)  # [2, 8, 10]

性能分析

对于每个 N 和 K 的组合，我们需要计算所有小于等于 K 的 N 次幂。幂计算的时间复杂度为 O(logK)，最多需要计算 logK 个幂，因此总的时间复杂度为 O(NlogKlogK)。如果采用记忆化搜索或动态规划等技术，可以将时间复杂度优化为 O(NK) 或 O(NlogK)。