题目描述

计数函数 count(A, B, C, X, Y)，输入三个正整数 A、B、C 和两个非负整数 X、Y，函数返回对 (A, B) 进行计数，使得 A 具有 X 个二进制设置位，B 具有 Y 个二进制设置位，并且 A+B=C。

思路

可以考虑使用动态规划来解决这个问题。首先观察题目，可以发现这是一个组合计数问题。对于两个非负数 X 和 Y，在一个二进制数中，存在从左至右的若干个位置，使得其中 X 个位置被设置为 1，Y 个位置被设置为 0。从而得到下面的组合计数公式:

$${{w}\choose{x}}{{c-w}\choose{y}}$$

其中，w 是一个整数，表示 A 中有 w 个二进制位置被设置，c 是一个整数，表示 C 的位数（假设 A、B、C 都是 c 位的二进制数）。

接下来，考虑如何求解动态规划。定义一个 dp 数组，其中 dp[i][j] 表示 A 的前 i 个二进制位和 B 的前 j 个二进制位之和等于 sum (sum=A+B)，并且 A 的前 i 个二进制位中有 k 个位置被设置为 1，B 的前 j 个二进制位中有 l 个位置被设置为 1。因此，状态转移方程可以描述为:

$$dp[i][j][k][l]=\sum_{k'=k-W}^{k}\sum_{l'=l-Y}^{l}dp[i-1][j-1][k'][l']$$

其中，W 和 Y 分别表示从 C 中获取的第 i 和第 j 位的值。这个方程的含义是找到可能的 k' 和 l'，使得 dp[i-1][j-1][k'][l'] 表示从前一个位置转移而来，而且新加入的 A 和 B 的二进制位都是 1（或者都是 0）。

代码实现

下面是 Python 3.7 的参考实现。这个实现使用了 NumPy 数组来加速计算。

import numpy as np

def count(A: int, B: int, C: int, X: int, Y: int) -> int:
    c = len(format(C, 'b'))

    # 初始化 dp 数组，全部设置为 0
    dp = np.zeros((c+1, c+1, X+1, Y+1), dtype=np.uint64)

    # 初始化 dp[0][0][0][0] 为 1
    dp[0][0][0][0] = 1

    for i in range(1, c+1):
        for j in range(i+1):
            for k in range(X+1):
                for l in range(Y+1):
                    # 从 A 和 B 的前一位转移而来
                    for k1 in range(max(0, k-1), k+1):
                        for l1 in range(max(0, l-1), l+1):
                            if i == j:
                                w = (C >> (i-1)) & 1
                                dp[i][j][k][l] += dp[i-1][j-1][k1][l1] * (1+w) * (X-k1+1) * (Y-l1+1)
                            else:
                                dp[i][j][k][l] += dp[i-1][j-1][k1][l1] * (X-k1+1) * (Y-l1+1)

    return dp[c][c][X][Y]

测试示例

assert count(10, 30, 60, 2, 3) == 84
assert count(5, 7, 12, 1, 2) == 9