绕固定轴旋转时的角动量

定义

首先，我们来看一下角动量的定义。

角动量（angular momentum）是一个物理量，是描述物体绕某个轴旋转时，其运动状态的量度。它是质量、转速和转轴位置的乘积，通常用 $L$ 来表示。

$$ L = I\omega $$

其中 $I$ 是对绕定轴旋转的物体的惯性矩，$\omega$ 是物体绕固定轴旋转的角速度。

推导

接下来，我们来推导一下这个公式。

考虑开始绕固定轴旋转的物体，给它一个初速度 $\vec{v}$。这个物体在运动中会产生角动量。

我们可以将这个物体分解成许多小的质点，每个质点的质量为 $dm$，距离轴的距离为 $r$。每个质点在运动中都会产生一个角动量：

$$ dL = \vec{r} \times \vec{p} $$

其中 $\vec{p} = m\vec{v}$ 是质点的动量，$\vec{r}$ 是质点到固定轴的位置向量，$\times$ 表示向量叉乘。

对于整个物体，我们可以将它分成 $N$ 个小的质点，将这些小的角动量加起来，得到总的角动量：

$$ L = \sum_{i=1}^N dL_i $$

将 $dL$ 代入上式，得到：

$$ L = \sum_{i=1}^N \vec{r}_i \times m\vec{v}_i $$

由于这个物体是绕固定轴旋转的，所以每个质点的位置向量 $\vec{r}_i$ 和速度向量 $\vec{v}_i$ 都是垂直于固定轴的。因此，这个向量叉乘可以简化为：

$$ L = \sum_{i=1}^N rmv_{\perp_i} $$

其中 $v_{\perp_i}$ 是 $\vec{v}_i$ 在垂直于固定轴方向上的分量。

我们可以对每个质点求出 $v_{\perp_i}$：

$$ v_{\perp_i} = v\sin\theta_i $$

其中 $\theta_i$ 是 $\vec{v}_i$ 和 $\vec{r}_i$ 之间的夹角。

将 $v_{\perp_i}$ 代入上式，得到：

$$ L = \sum_{i=1}^N rmv\sin\theta_i $$

我们可以将 $\sin\theta_i$ 对所有的质点求和，并且用质量 $m$ 等于体积 $V$ 乘以密度 $\rho$ 的方式代替：

$$ L = \rho Vr \int v\sin\theta^2 dV $$

考虑到惯性矩 $I$ 是质量分布关于固定轴的二次方向量，可以用密度 $\rho$ 和位置向量 $\vec{r}$ 的函数关系表示为：

$$ I = \rho \int r^2 dV $$

因此可以将角动量 $L$ 用惯性矩 $I$ 和角速度 $\omega$ 表示为：

$$ L = I\omega $$

这就是绕固定轴旋转时的角动量公式。

应用

我们可以将这个公式运用到很多物理问题中。

例如，当一个刚体在绕一个定轴旋转时，如果它的形状不均匀，那么它的惯性矩在不同的轴上的值是不同的，因此它的角动量也会随着时间变化。通过这个公式，我们可以计算出绕固定轴旋转的刚体的角动量，并且可以根据角动量的变化来分析其运动状态。

总结

绕固定轴旋转时的角动量是一个非常重要的物理量。通过本文推导出的公式，我们可以对绕固定轴旋转的物体的运动状态进行定量的分析，并且可以应用到很多实际问题中。

需要注意的是，这个公式只适用于绕固定轴旋转的情况，如果物体的轴在运动中发生了变化，那么这个公式就不再适用。