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📜  扭矩和角动量

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:38.320000             🧑  作者: Mango

扭矩和角动量

对于刚体，运动通常既是旋转又是平移。如果身体固定在某一点，运动通常是旋转的。众所周知，需要力来改变身体的平移状态并为其提供线性加速度。扭矩和角动量是力和动量的旋转等价物。这些实体帮助我们改变身体的旋转状态。扭矩和角动量非常有用，在日常生活中几乎无处不在。发动机和电动机的功率是通过扭矩来衡量的。因此，在研究任何刚体时，必须了解扭矩和角动量的概念。让我们详细看看这些概念。

扭矩

扭矩类似于旋转运动中的力。考虑一个门的例子。门的位置是固定的，只能绕其轴线旋转。那么是什么原因导致门旋转呢？需要用力，但施加在门铰链上的力不起作用。因此，它不仅仅是力量，它所施加的位置也很重要。

在旋转运动中，类似的力是扭矩。这也称为力矩。这会导致身体的角加速度，这意味着强制改变身体的旋转状态。设一个粒子 P 位于远离原点的一个点，其位置向量由下式给出\vec{r} .如果力 F 作用在粒子上，则力矩由下式给出，

\tau = \vec{F} \times \vec{r}

由于涉及到叉积，所以它是一个向量。扭矩的大小由下式给出，

\tau = F.r.sin(\theta)

这里，“r”是位置矢量的大小， θ是位置矢量与力的夹角。式中，“rsin θ ”部分为力与刚体轴线的垂直距离。

粒子角动量

已经提到扭矩类似于力。同样，角动量类似于线性动量。这也是与其对应扭矩相似的矢量积。考虑具有线性动量“p”和相对于原点O的位置向量的粒子P。粒子的角动量用“L”表示，

L = r × p

角动量的大小将由下式给出，

L = rpsin θ

其中 r 和 p 分别是位置向量和线性动量的大小。角度θ是位置矢量和线性动量之间的夹角。这里还有“rsin( θ )”是动量和位置向量之间的垂直角。

角动量与扭矩的关系

角动量和转矩的关系类似于力和动量的关系。力是粒子动量的变化。同样，扭矩是粒子角动量的变化。对角动量公式求微分，

\frac{dl}{dt} = \frac{d}{dt}(r \times p)

应用产品规则进行差异化，

\frac{dl}{dt} = \frac{d}{dt}(r \times p) = \frac{dl}{dt} = \frac{dr}{dt}\times p + r\times \frac{dp}{dt}

现在， \frac{dr}{dt}是粒子的速度，但由于它与动量方向相同，

r x \frac{dr}{dt} = 0

所以，现在方程变成了，

\frac{dl}{dt} = \frac{d}{dt}(r \times p)\\ = \frac{dl}{dt} = r\times \frac{dp}{dt}

\frac{dp}{dt}表示力 F，

\frac{dl}{dt} = r \times F \\ = \frac{dl}{dt} = \tau

因此，这证明了角动量的变化率是由扭矩给出的。

示例问题

问题1：如果在距铰链0.5m的门上施加10N的力，请找出门上的扭矩。

回答：

问题2：如果在距铰链0.3m的门上施加20N的力，请找出门上的扭矩。

回答：

问题3：物体绕轴做圆周运动，半径为0.1m，物体的动量为50Kgm/s。求物体的角动量。

回答：

问题4：物体绕轴作半径为0.2m的圆周运动，物体的动量为70Kg/s。求物体的角动量。

回答：

问题5：物体绕轴作半径为0.2m的圆周运动，物体的动量为70Kg/s。在身体上施加一个扭矩 2 秒，动量变为 120Kgm/s。找出施加在身体上的扭矩。

回答：

问题6：物体绕轴做圆周运动，半径为0.1m，物体的动量为50Kgm/s。在身体上施加一个扭矩 4 秒，动量变为 100Kgm/s。找出施加在身体上的扭矩。

回答：