角动量公式

本文将详细讨论角动量公式。线动量的旋转当量是角动量公式。这两个概念都与某物移动的速度有关。它还解决了改变速度的困难。另一方面，线性动量只有两个变量：质量和速度。从一个非常相似的方程开始，计算角动量。因此，乍一看，它可能看起来具有相似的复杂性。正如我们将看到的，它比线性动量要困难得多，并且包含更多的变量。

角动量

角动量也称为线性动量。角动量定义为任何旋转物体的属性，由转动惯量和角速度的乘积决定。

角动量或线动量矩是与线动量相当的旋转力学变量。扭矩类似于力的力矩。如果 p 是粒子在圆周运动中的瞬时线性动量， L = r × p表示它当时的角动量，其中 r 是距旋转轴的位置矢量。

Kg.m ² .s ^-1是国际计量单位。

维数公式为 L ² MT ^-1 。

转动惯量

惯性矩被定义为物体中每个粒子的质量与其到旋转轴的距离的平方的乘积之和，它表示物体抵抗角加速度的潜力。

尽管“惯性矩”这个术语可能令人费解，但每个人都已经熟悉计算它所涉及的概念。假设有两根木棒。它们的重量和直径相同，但一个长一英尺，另一个长十英尺。如果将它向上抛向目标，哪个会旋转得更快？用 2 英尺的绳索或 5 英尺的绳索绕头旋转球需要更多能量吗？如果球的质量增加了两倍怎么办？

没有人意识到用更小的杆和更短的绳子旋转会更容易吗？所以如果开始计算一个物体的转动惯量。虽然人们可能会将“时刻”一词与时间联系起来，但它实际上与数学和物理学中的扭矩或扭曲有关。转动惯量描述了围绕特定轴扭转物体的难度。每个项目的形状、质量和旋转轴定义了它的转动惯量。

点质量的转动惯量，I = mr ²

杆的转动惯量，I = mL ² / 12（中心）

用转动惯量表示角动量

图中可以看到一个刚性物体以恒定角速度 ω 围绕垂直于纸面的轴旋转。假设物体由 N 个粒子组成，质量为 m ₁ , m ₂ ,….m _N ，与旋转轴的垂直距离为 r ₁ , r ₂ ,….r _N 。当物体旋转时，所有这些粒子以相同的角速度 ω 传导 UCM，但线速度不同 v ₁ = r ₁ ω, v ₂ = r ₂ ω, … v _N = r _N ω。

各个速度方向 v ₁ 、 v ₂等沿着它们各自轨迹的切线。初始粒子的线性动量为 p ₁ = m ₁ v ₁ = m ₁ r ₁ ω。它的行进方向与 v ₁相同。

因此其角动量的大小为 L ₁ = p ₁ r ₁ = m ₁ r ₁ ² ω。类似地，L ₂ = m ₂ r ₂ ² ω，L ₃ = m ₃ r ₃ ² ω，... L _N = m _N r _N ² ω。

对于具有固定旋转轴的刚体，所有这些角动量都沿旋转轴定向，这可以使用右手拇指规则来确定。它们的大小可以代数相加，因为它们都具有相同的方向。因此，物体角动量的大小由下式给出，

L = m ₁ r ₁ ² ω + m ₂ r ₂ ² ω +….+ m _N r _N ² ω

∴ L = (m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² +…+ m _N r _N ² )ω = Iω

物体绕给定旋转轴的转动惯量是 I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² +…+ m _N r _N ² 。如果用转动惯量 I 代替质量，则角动量语句 L = Iω 可与线性动量表达式 p = mv 相媲美，这就是它的物理意义。

角动量量子数

方位角量子数或次级量子数可以与角动量量子数互换。它是一个量子数，它决定了原子轨道的角动量以及它的大小和形式。最常见的值介于 0 和 1 之间。

右手拇指法则

• 如果你定位你的右手，使手指指向 r 的方向。
• 因此，卷曲朝向线性动量 (p) 的方向。
• 伸出的拇指描绘了角动量 (L) 的方向。

角动量的例子

• 陀螺仪

为了保持其方向，陀螺仪使用角动量原理。它与三自由度纺车一起工作。它在快速转动时锁定方向，不会偏离方向。这在控制航天器姿态至关重要的空间应用中非常有用。

• 溜冰者

当溜冰者开始旋转时，他们的手和腿从身体中心向外张开。当旋转需要更高的角速度时，他们将手和腿靠近身体。由于角动量守恒，它们旋转得更快。

扭矩

可能导致物体沿轴旋转的力是通过扭矩来测量的。在线性运动学中，力是推动物体前进的动力。角加速度也是由扭矩引起的。因此，扭矩可以被认为是线性力的旋转当量。旋转轴是物体旋转的点。扭矩在物理学中被定义为力的转动或扭曲倾向。

扭矩公式，

τ = r × F

角动量守恒

每个人都见过线性动量守恒，它表明在没有外部不平衡力的情况下，孤立系统的线性动量是守恒的。如前所述，在旋转动力学中，扭矩和角动量类似于力和线性动量。通过正确的修改，这可以转化为角动量守恒。

如上所见，系统的角动量或线动量矩为 L = r × p

其中，r = 旋转轴的位置矢量，p = 线性动量。

时间上的差异化，

dL/dt = d/dt(r × p)

∴ dL/dt = r × (dp/dt) + (dr/dt) × p ⇢ （等式 a）

现在，(dr/dt) = v 和 (dp/dt) = F 代入方程 a。

∴ dL/dt = r × F + m(v × v)

现在，(v × v) = 0

∴ dL/dt = r × F

但是，r × F 是扭矩。

∴ τ = dL/dt

因此，如果 τ = 0，dL/dt = 0 或 L = 常数。

结果，在没有不均匀的外部扭矩τ的情况下，角动量L是守恒的。这就是角动量守恒原理，类似于线性动量守恒。

角动量守恒在芭蕾舞表演、马戏杂技表演以及滑冰和游泳池跳水等运动中得到体现。 L = Iω = I(2πη) 在所有这些情况下都是常数。结果，增加转动惯量 I 会降低角速度，从而降低转速 η。此外，减小转动惯量会提高频率。

关于角动量要记住的事情

• 角动量定义为任何旋转物体的属性，由转动惯量和角速度的乘积决定。
• 角动量“L”的大小可以使用以下公式计算： L = rmv sin Φ
• 自旋和轨道角动量是角动量的两种类型。
• L = r × p 是计算点物体角动量的公式。
• L = I × ω 是计算长物体角动量的公式。
• 当没有施加扭矩时，圆的半径决定了物体的垂直速度。

示例问题

问题 1：一颗质量为 1.7 × 10 ⁵ kg、相对速度为 25 km/s 的小行星在赤道沿地球自转方向切线与地球相撞，并滞留在那里。使用角动量计算碰撞导致地球角速度的百分比变化。

解决方案：

M_a =1.7 × 10⁵ kg

v_a = 25 km/s ((1000m/s) / (1km/s)) = 2.5 × 10⁴ m/s

Consider,

R = 1.50 × 10¹¹ m

M_E = 5.97 × 10²⁴ kg

An asteroid’s moment of inertia is calculated as follows:

I_a = M_aR²

R denotes the distance between the Sun and the planet Earth, which is 1.50 × 10¹¹ m.

The Earth’s moment of inertia can be written as,

I_E = 2/5 M_ER²

M_E denotes the mass of the Earth, which is 5.97 × 10²⁴ kg.

An asteroid’s angular velocity can be calculated as follows:

ω_a = v_a/R

Apply the principle of momentum conservation. The equation can be written as follows:

I_aω_a + I_Eω_E = (I_a + I_E)ω ⇢ (Equation 1)

Here, ω_a represents an asteroid’s angular velocity, ω_E represents an asteroid’s angular velocity, and ω is the net angular velocity.

The moment of inertia of the satellite in relation to Earth I_a can now be ignored. Then, using equation (1), the conservation of angular momentum can be written as,

I_aω_a + I_Eω_E = I_Eω

ω = (I_aω_a +I_Eω_E) / I_E  ⇢  (Equation 2)

The Earth’s angular velocity can be computed as,

ω_E =1 rev/yr (2π rad / 1rev)(1yr / 86400s)

≈ 7.27 × 10^-5 rad/s

The following results are obtained by plugging the relevant terms into equation (2):

ω = (M_aR² × v_a/R + 2/5M_ER² × ω_E) / (2/5M_ER²)

When the values are plugged into the equation above, 

ω ≈ 7.27 × 10^-5 rad/s

After the collision, the percentage change in the earth’s angular speed can be written as,

%C = (ω−ω_E)/ω_E × 100%

%C ≈ 0%

The angular speed changes by a small proportion in this case. As a result, the percentage change in the Earth’s angular speed as a result of the collision is around 0%.

问题 2：定义角动量。

回答：

Angular momentum is defined as the attribute of any rotating object that is determined by the product of moment of inertia and angular velocity.

问题 3：以 100rad/s 的角速度，一个质量为 20kg 的实心圆柱体绕其轴旋转。圆柱体半径为0.25m。气缸旋转的 KE 是多少？圆柱绕其轴的角动量有多大？

解决方案：

Moment of inertia of solid cylinder,

I = M × (R² / 2)

∴ I = 20 × ((0.25)² / 2)

∴ I = 0.625 kgm²

Kinetic Energy,

K = (1/2)Iω²

∴ K = 1/2 × 0.625 × 100 × 100

∴ K = 3125 joules

Angular momentum = Iω

∴ Angular momentum = 0.625 × 100

∴ Angular momentum = 6.25 kgm²/s

问题 4：解释角动量的例子。

回答 ：

• Gyroscope:

To retain its orientation, a gyroscope uses the angular momentum principle. It works with a three-degree-of-freedom spinning wheel. It locks on to the orientation when turned at a rapid speed and will not stray from it. This is useful in space applications where controlling the attitude of a spacecraft is critical.

• Ice-skater:

When ice skaters start a spin, their hands and legs are spread wide apart from their body’s center. They put their hands and legs closer to their bodies when spinning requires a higher angular velocity. They spin faster as a result of the conservation of angular momentum.

问题 5：解释角动量量子数。

回答：

Azimuthal quantum number or secondary quantum number is interchangeable with angular momentum quantum number. It is a quantum number that determines the angular momentum of an atomic orbital as well as its size and form. The most common value is between 0 and 1.

问题 6：解释扭矩。

回答：

The force that may cause an object to rotate along an axis is measured by torque. In linear kinematics, force is what propels an object forward. An angular acceleration is also caused by torque. As a result, torque can be thought of as the linear force’s rotating equivalent. The axis of rotation is the point around which an object rotates. Torque is defined as a force’s proclivity to turn or twist in physics.

Formula of Torque,

τ = r × F

问题 7：简要解释右手拇指规则。

回答：

Right hand thumb Rule:

• If one position their right hand so that the fingers point in the direction of r.
• The curl is thus oriented in the direction of linear momentum (p).
• The outstretched thumb depicts the direction of angular momentum (L).