如何在直角三角形中找到一个角?
三角形是由三条线相交形成的三边封闭多边形。在日常生活中经常遇到。它是几何的基本形状之一。它有三个边、三个角和三个顶点。直角三角形是其中一个角度始终等于 90° 的三角形。毕达哥拉斯定理是为直角三角形推导出来的,它指出斜边(最长边)的平方等于底边和垂边的平方和。
给定直角三角形至少两条边的长度,我们可以找到直角三角形任意角的值。为此,我们使用各种三角函数,如正弦、余弦、正切、余切、秒和余秒。这些有助于我们将直角三角形的角度与其边联系起来。
特性
- 三个顶点之间有一个直角顶点
- 与直角顶点相对的一侧称为斜边。
- 边的长度遵循 Pythororus 定理,该定理指出
hypotenuse2 = base2 + altitude2
- 斜边是直角三角形的最长边。
- 直角以外的角都是锐角,因为该值小于 90 o
三角函数
- cosθ:这给出了直角三角形的底边与斜边的比率。
cosθ = base / hypotenuse
- sinθ:这给出了直角三角形的斜边与高度的比率。
sinθ = altitude / hypotenuse
- tanθ:直角三角形底边与高度的比值。
tanθ = altitude / base
- cotθ:它是 tanθ 的倒数
- secθ:它是 cosθ 的倒数
- cosecθ:它是 sinθ 的倒数
为了找到直角三角形的角度,我们可以取三角形给定边的比率的三角倒数。
例子:
If sinθ = x, then we can write
θ = sin-1x.
This returns the angle for which the sine value of the angle is x.
Similarly, there exists cos-1θ, tan-1θ, cot-1θ, sec-1θ, and cosec-1θ
示例问题
问题 1. 给定一个直角三角形,底边等于 10 厘米,斜边等于 20 厘米。求底角的值。
解决方案:
Given, Base = 10cm
Hypotenuse = 20cm
Let, the value of the base angle be θ. We can write
cosθ = base / hypotenuse = 10/20 = 1/2
θ = cos-1(1/2) = 60o
Thus, the value of base angle is 60o.
问题 2. 求直角三角形的角值,假设其中一个锐角是另一个锐角的两倍。
解决方案:
Since we know the sum of all the three angles in a triangle is 180o.
Since one of the angles is 90o and one of the acute angles is twice the other, we can consider them as θ and 2θ.
So, we can write
90o + θ + 2θ = 180o
3θ = 180o – 90o
3θ = 90o
θ = 90o/3 = 30o
2θ = 2 × 30o = 60o
So, the angles are 30o, 60o, and 90o.
问题 3. 假设梯子的底部距离墙壁 3m,求长度为 5m 的梯子的仰角值。
解决方案:
Since the ladder acts as a hypotenuse of a right angles triangle and base distance equals 3m, we can write
Hypotenuse = 5m
Base = 3m
Let the angle of elevation be θ. So, we can write
cosθ = Base / Hypotenuse = 3/5
θ = cos-1(3/5)
θ = 53o
Thus, the value of the angle of elevation is 53o.
问题 4. 求斜边的值,假设高度为 8m,底角为 30 ° 。
解决方案:
Given, the base angle is equal to 30o and altitude equals 8m, we can apply the sine function to find the length of the hypotenuse.
sin30o = altitude / hypotenuse
hypotenuse = altitude / sin30o
Since the value of sin30o equals 1/2, we can write
hypotenuse = altitude / (1/2) = 2 × altitude
Thus, hypotenuse = 2 × 8 = 16m
Thus, the length of the hypotenuse is equal to 16m.