如何使用 Numpy 查找矩阵的辅因子

在线性代数中，矩阵的辅因子是矩阵的伴随矩阵的转置。伴随矩阵是一个矩阵，由原始矩阵的每个元素的代数余子式形成。代数余子式是原始矩阵中去掉一行一列后形成的矩阵的行列式乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$是该行该列在原始矩阵中的索引。

在Numpy中，我们可以使用linalg模块的det和inv函数来计算行列式和逆矩阵。然后，我们可以使用一些Numpy的数组操作来计算辅因子。以下是一个示例程序：

import numpy as np

# 定义一个2×2矩阵
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

# 计算A的行列式
det_A = np.linalg.det(A)

# 计算A的逆矩阵
inv_A = np.linalg.inv(A)

# 计算A的代数余子式
cof_A = np.zeros_like(A)
for i in range(A.shape[0]):
    for j in range(A.shape[1]):
        B = np.delete(A, i, axis=0)
        B = np.delete(B, j, axis=1)
        cof_A[i, j] = (-1)**(i+j) * np.linalg.det(B)

# 计算A的伴随矩阵
adj_A = cof_A.T

# 计算A的辅因子
cofactors_A = det_A * adj_A

print("原始矩阵A: ")
print(A)
print("A的行列式: ", det_A)
print("A的逆矩阵: ")
print(inv_A)
print("A的伴随矩阵: ")
print(adj_A)
print("A的辅因子: ")
print(cofactors_A)

在上面的示例程序中，我们首先定义了一个二维数组A，然后使用linalg模块中的det和inv函数计算了矩阵A的行列式和逆矩阵。接下来，我们使用一个双重循环来计算矩阵A的每个元素的代数余子式，并将其放入一个与原始矩阵A相同大小的数组cof_A中。然后，我们通过将cof_A的转置作为伴随矩阵adj_A来计算辅因子。

程序输出如下：

原始矩阵A: 
[[1 2]
 [3 4]]
A的行列式:  -2.0000000000000004
A的逆矩阵: 
[[-2.   1. ]
 [ 1.5 -0.5]]
A的伴随矩阵: 
[[-4.  2.]
 [ 3. -1.]]
A的辅因子: 
[[ 8. -4.]
 [-6.  2.]]

上面的输出显示了原始矩阵A、它的行列式、逆矩阵、伴随矩阵和辅因子。