子数组中小于或等于数字的元素数：MO 的算法

算法介绍

MO 算法是一种用于处理静态查询的算法，其主要思想是将查询操作离线下来，然后按照一定的规则分块处理。在实际应用中，MO 算法常被用来统计子数组中小于或等于给定数字的元素个数。

算法实现

MO 算法的实现过程中，需要将查询操作按照一定的规则分块，使得同一块中的查询操作具有相同的关键字，这样就可以将同一块中的所有查询操作转化为对同一个子区间中元素的查询。

具体来说，可以将整个数组分成 $\sqrt{n}$ 个块，每个块大小为 $\sqrt{n}$，查询操作也被分成 $\sqrt{n}$ 组，每组操作都在一个块内进行。然后对每一个块内的所有操作按照右端点排序，这样就可以保证同一块内的所有操作都具有相同的右端点。

接下来，对所有块按照左端点排序，然后按照顺序处理查询操作。如果当前操作的左端点在当前块内，那么可以直接暴力枚举，在 $O(\sqrt{n})$ 的时间内统计答案。否则，就需要利用前缀和等技巧，快速计算出对答案的贡献。

最终，可以得到所有查询操作的答案。

算法优化

在实际应用中，可以对 MO 算法进行优化。一种常用的优化方法是分块，使得同一个块内的操作具有相同的左端点。这样可以有效减少一些无用的操作，从而提高算法效率。

另外，在实现过程中，可以使用莫队算法中的“松弛”操作来优化时间复杂度。具体地，每进行一次查询操作时，可以将上一次查询操作的结果继承过来，然后根据当前查询操作的要求，通过增减当前左右端点来得到最终的结果。这样可以将查询操作的时间复杂度降为 $O(1)$。

代码实现

下面是一个基于 Python 语言实现的 MO 算法。其中，process 函数用来统计子数组中小于或等于给定数字的元素个数，blocks 函数用来将查询操作按照左端点排序，solve 函数用来对查询操作进行处理。

from math import sqrt

def process(idx):
    """
    统计子数组中小于或等于给定数字的元素个数
    """
    l, r = qs[idx]
    while ql < l:
        cnt[a[ql]] -= 1
        if cnt[a[ql]] == 0:
            res -= 1
        ql += 1
    while ql > l:
        ql -= 1
        cnt[a[ql]] += 1
        if cnt[a[ql]] == 1:
            res += 1
    while qr < r:
        qr += 1
        cnt[a[qr]] += 1
        if cnt[a[qr]] == 1:
            res += 1
    while qr > r:
        cnt[a[qr]] -= 1
        if cnt[a[qr]] == 0:
            res -= 1
        qr -= 1
    ans[idx] = res

def blocks():
    """
    将查询操作按照左端点排序
    """
    global ql, qr, res
    res = 0
    ql, qr = qs[0]
    cnt[a[ql]] = 1
    res = 1
    for idx in range(m):
        l, r = qs[idx]
        while ql < l:
            cnt[a[ql]] -= 1
            if cnt[a[ql]] == 0:
                res -= 1
            ql += 1
        while ql > l:
            ql -= 1
            cnt[a[ql]] += 1
            if cnt[a[ql]] == 1:
                res += 1
        while qr < r:
            qr += 1
            cnt[a[qr]] += 1
            if cnt[a[qr]] == 1:
                res += 1
        while qr > r:
            cnt[a[qr]] -= 1
            if cnt[a[qr]] == 0:
                res -= 1
            qr -= 1
        res_ = res
        for i in range(idx-1, -1, -1):
            while qs[i][0] < l:
                l -= 1
                cnt[a[l]] += 1
                if cnt[a[l]] == 1:
                    res_ += 1
            while qs[i][1] <= r:
                cnt[a[qs[i][1]]] += 1
                if cnt[a[qs[i][1]]] == 1:
                    res_ += 1
                qs[i][1] += 1
            while qs[i][0] > l:
                qs[i][0] -= 1
                cnt[a[qs[i][0]]] += 1
                if cnt[a[qs[i][0]]] == 1:
                    res_ += 1
            while qs[i][1] > r:
                qs[i][1] -= 1
                cnt[a[qs[i][1]]] -= 1
                if cnt[a[qs[i][1]]] == 0:
                    res_ -= 1
            ans[i] = res_
        res_ = res
        for i in range(idx-1, -1, -1):
            process(i)
            res_ = ans[i]
        process(idx)
        res = res_
        ql, qr = qs[idx]

def solve():
    """
    对查询操作进行处理
    """
    blocks()
    return ans

总结

MO 算法是一种用于处理静态查询的算法，主要用于统计子数组中小于或等于给定数字的元素个数。具有时间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$，空间复杂度为 $O(n)$ 的优秀性能表现。在实现过程中，可以进行一些优化操作，如分块和“松弛”操作等，以进一步提高算法效率。