计算具有偶数位异或的子数组

在计算机科学中，异或操作是经常使用的一种位运算符。在一些算法问题中，需要找到具有偶数位异或的子数组数量。下面介绍一种基于位运算的解法。

解法概述

对于一个整数数组 $nums$，将其任意子数组进行异或运算，可以得到一个结果数组 $xor$，其中 $xor[i]$ 表示 $nums$ 的第 $0$ 到 $i$ 个元素的异或结果。可以证明，如果某个子数组 $nums[i:j]$ 的异或结果为偶数，那么 $xor[j]\equiv xor[i-1]$（即两者异或结果为 $0$），否则二者的异或结果为 $1$。基于这一性质，可以使用哈希表和位运算来统计具有偶数位异或的子数组数量。

解法实现

考虑一个整数 $x$ 的二进制表示，对于二进制表示中的第 $i$ 位，如果其为 $0$，那么其对应的值为 $2^i$，否则其对应的值为 $0$。因此，一个整数 $x$ 的任意子集 $S$ 的异或结果 $y_S$ 可以表示为：

$$y_S=\bigoplus_{j\in S}x_j=\bigoplus_{i=0}^{31}(x,&,2^i)\text{count}(S,&,2^i)$$

其中，$\text{count}(S,&,2^i)$ 表示 $S$ 中二进制表示中第 $i$ 位为 $1$ 的元素个数。

对于计算具有偶数位异或的子数组数量，只需要统计所有 $x_i$ 的 $\text{count}(S,&,2^i)$ 的奇偶性，即可得到具有偶数位异或的子数组数量。

具体地，我们可以记录哈希表 $hash$，其中 $hash[x]$ 对应一个二进制表示，在第 $i$ 位为 $1$，表示当前的异或结果的第 $i$ 位为 $1$。对于当前的子数组，可以使用 $xor_j,\text{xor},xor_{i-1}$ 计算出它的异或结果。对于哈希表中的每个元素 $hash[x]$，统计 $hash[x]$ 中 $1$ 的个数，如果个数为偶数，则说明存在符合条件的子数组。

def countSubarrays(nums: List[int]) -> int:
    # 初始化哈希表，初始值为（0, 1），表示异或结果为 0 的子数组有 1 个
    hash = {0: 1}
    count = 0
    xor = 0
    for num in nums:
        xor ^= num
        # 计算当前异或结果与哈希表中的所有结果进行异或的结果
        # 如果新结果已经在哈希表中出现过，则说明存在一个子数组的异或结果为偶数
        for k in hash:
            if (xor ^ k) in hash:
                count += hash[xor ^ k]
        # 更新哈希表
        hash[xor] = hash.get(xor, 0) + 1
    return count

复杂度分析

该算法的时间复杂度为 $O(n\log C)$，其中 $n$ 为数组 $nums$ 的长度，$C$ 为数组 $nums$ 中元素的最大值。该算法的空间复杂度为 $O(n)$。