Python | 使用字典实现动态规划

动态规划是解决许多优化问题的有效思想，包括最长公共子序列，背包问题，图形问题等等。在实际应用中，许多问题的子问题是重复的，如果能够保存已经求解的子问题的结果，可以加速整个问题的求解过程。

使用字典实现动态规划是一种常见的方法，在求解过程中将每个子问题的结果保存在字典中，避免重复计算。下面以背包问题为例讲解如何使用字典实现动态规划。

背包问题

假设有一个背包可以容纳重量为W的物品，现在有n个物品，第i个物品的重量为w[i]，价值为v[i]。需要选出一些物品放入背包中，使得被选中的物品的重量和不超过背包的容量，并且选中的物品价值之和最大。

这个问题可以使用动态规划来解决，具体步骤如下：

1. 定义子问题：f(i,j)表示在前i个物品中选取若干个物品放入重量不超过j的背包中所能获得的最大价值。

2. 确定状态转移方程：对于第i个物品，有两种情况，一种是放入背包中，一种是不放入背包中。如果选择放入，则背包容量减少w[i]，最大价值增加v[i]。则状态转移方程为f(i,j) = max(f(i-1,j-w[i])+v[i], f(i-1,j))。

3. 确定边界：当物品数量为0或者背包容量为0时，最大价值为0，则f(0,j)和f(i,0)均为0。

使用字典实现动态规划

下面通过Python代码实现使用字典实现动态规划解决背包问题。

def knapsack(W, n, w, v):
    """
    使用字典实现动态规划解决背包问题
    """
    memo = {}
    # 边界
    for j in range(W + 1):
        memo[(0, j)] = 0
    for i in range(1, n + 1):
        memo[(i, 0)] = 0
        for j in range(1, W + 1):
            if j < w[i - 1]:
                memo[(i, j)] = memo[(i - 1, j)]
            else:
                memo[(i, j)] = max(memo[(i - 1, j - w[i - 1])] + v[i - 1], memo[(i - 1, j)])
    return memo[(n, W)]

其中，字典memo保存每个子问题的结果，memo[(i,j)]表示在前i个物品中选取若干个物品放入重量不超过j的背包中所能获得的最大价值。

首先确定边界条件，即当物品数量为0或者背包容量为0时，最大价值为0。

然后通过循环来求解子问题的结果，每次根据状态转移方程f(i,j) = max(f(i-1,j-w[i])+v[i], f(i-1,j))计算memo[(i,j)]的值即可。

最终返回memo[(n,W)]，即选取物品获得的最大价值。

总结

使用字典实现动态规划可以加速许多优化问题的求解，适用于需要重复计算子问题的场景。本文以背包问题为例，详细讲解如何使用字典实现动态规划解决问题，希望能够对读者有所帮助。