使用动态规划通过给定的操作将 N 转换为 M

动态规划（Dynamic Programming）是一种常用于优化问题的算法方法。它通常用于解决需要逐步做出决策的问题，每个决策都会影响到后续决策的结果。

本文将介绍如何使用动态规划通过给定的操作将 N 转换为 M的问题。

问题描述

给定两个正整数 N 和 M，你需要通过如下操作将 N 转换为 M：

1. 将 N 加一（N = N + 1）
2. 将 N 乘二（N = N * 2）
3. 将 N 乘三（N = N * 3）

请问，最少需要多少次操作才能将 N 转换成 M？

解法

这个问题可以看作是一道最短路径问题，我们可以将它抽象成一个图的形式，N 和 M 在这个图上分别表示起点和终点，然后从起点开始，每个节点有三个出度，分别表示加一、乘二、乘三的操作，然后每个子节点可以进一步扩展出三个子节点。

我们可以使用广度优先搜索（BFS）或者动态规划（DP）来解决这个问题。这里我们介绍一下 DP 的方法。

首先，我们定义一个状态数组 dp[]，dp[i] 表示从 N 到 i 需要的最少操作次数。然后我们将 dp[N] 初始化为 0，其他的状态都初始化为正无穷。

在状态数组 dp[] 被初始化后，我们从 N+1 开始循环，不断逐步更新 dp[] 数组中的值，直到 dp[M] 被计算出来。

更新 dp[i] 的方法如下：

dp[i] = min(dp[i], dp[i-1]+1, dp[i/2]+1 if i%2==0, dp[i/3]+1 if i%3==0)

在这个更新过程中，我们将 dp[i] 的值更新为当前值、dp[i-1]+1、dp[i/2]+1（如果 i 能够被 2 整除的话）、dp[i/3]+1（如果 i 能够被 3 整除的话）四个值中的最小值。

最终，dp[M] 的值就是从 N 到 M 需要的最少操作次数。

下面是实现代码：

def convert(N, M):
    dp = [float('inf')] * (M+1)
    dp[N] = 0
    for i in range(N+1, M+1):
        dp[i] = min(dp[i], dp[i-1]+1)
        if i % 2 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//2]+1)
        if i % 3 == 0:
            dp[i] = min(dp[i], dp[i//3]+1)
    return dp[M]

总结

本文介绍了如何使用动态规划通过给定的操作将 N 转换为 M。这个问题可以看作是一道最短路径问题，我们可以使用 BFS 或者 DP 来解决。在 DP 中，我们使用一个状态数组来表示从 N 到 i 需要的最少操作次数，然后从 N+1 开始逐步更新这个数组的值，直到得到 dp[M] 的值。