除法算法问题和解决方案

多项式由不同程度的代数表达式组成。一阶多项式称为线性多项式，二阶多项式称为二次多项式，三阶多项式称为三次多项式。这些多项式的零是这些多项式变为零的点。有时候，我们有多项式的零点，我们需要找到其他零点。例如，假设多项式p(x)= x ³ – 3x ² – x + 3，并且我们知道零为1。那么x – 1必须是该多项式的因数。目标是找到其他两个零。在这种情况下，除法算法可以为我们提供帮助。

多项式的除法算法

让我们有两个多项式p(x)和g(x)，以及g(x)≠0。现在我们可以找到两个多项式q(x)和r(x)，

p(x)= q(x)xg(x)+ r(x)，

在此，r(x)= 0或r(x)的度

Dividend = Quotient x Divisor + Remainder

现在让我们来看一个例子，如何将两个多项式相除，

假设我们有p(x)= 2x ² + 4x + 1和g(x)= x + 1。

长除法的步骤：

Step 1: We will stop this process when the remainder becomes zero, or its degree becomes less than divisor.

Step 2: Quotients’ first term is obtained by dividing the highest order term of dividend with the highest degree term of the divisor.

Step 3: For the second term, divide the highest degree term of the new dividend obtained as remainder by the highest degree term of the divisor.

Step 4: Continue the steps until the condition mentioned in step 1 is met.

请注意，在此示例中，q(x)= 2x + 2和r(x)= -1。

让我们看看这个算法的一些问题。

样本问题

问题1：给定多项式p(x)= x ² + x +5和g(x)= x +2。找出q(x)和r(x)的值。

解决方案：

Using the steps mentioned above. On dividing p(x) with g(x) we get, 

q(x) = x – 1 and r(x) = 7. 

问题2：给定多项式p(x)= x ³ + x + 6x ² + 4和g(x)= x ² +1。求出q(x)和r(x)的值。

解决方案：

Using the steps mentioned above. On dividing p(x) with g(x) we get, 

So, here q(x) = x + 6, and r(x) = -2. 

问题3：给定多项式p(x)= x ⁴ + x + 6x ² + 4和g(x)= x ² +1。求出q(x)和r(x)的值。

解决方案：

Using the steps mentioned above. On dividing p(x) with g(x) we get, 

So, here q(x) = x² + 5, and r(x) = x -1. 

问题4：给定多项式x ⁴ –1。我们知道两个根为-1，1。找到另外两个根(如果存在)。

解决方案：

We know that the two roots are -1 and 1. 

So, x -1 and x + 1 are the factors of the given polynomial. Then, (x – 1)(x +1) is also a factor of the polynomial. 

(x – 1) (x + 1) = x² – 1

We see that quotient is x² + 1. The roots of this polynomial will be the roots of the equation. 

x² + 1 = 0

⇒ x² = -1 

This equation cannot have real roots, thus roots don’t exist for this polynomial. 

问题5：给定多项式p(x)= x ⁵ + 8x ³ – 6x ⁴ + 5x ² + 10x + 8和g(x)= x ² + 10x -5。找出q(x)和r(x)。

解决方案：

Using the same steps as done in previous questions, 

q(x) = x³ – 16x² + 173x – 1805 

r(x) = 18295x – 9017

问题6：对于给定的多项式，相同的多项式p(x)= x ⁵ + 8x ³ – 6x ⁴ + 5x ² + 10x + 8和g(x)= x +5。找到q(x)和r(x)。

解决方案：

Here, q(x) = x⁴ – 11x³ + 63x² – 310x + 1560 

r(x) = -7792 

问题7：对于相同的给定多项式p(x)= x ⁵ – 6x ⁴ + 5x ² + 8和g(x)= x +2。找到q(x)和r(x)。

解决方案：

q(x) = x⁴ – 8x³ + 16x² -27x + 54 

g(x) = -100