一个组的两个子组的交集又是一个子组

组别：
它是一个装备有二进制运算的集合，该二进制运算以使得满足称为组公理的三个条件(即关联性，同一性和可逆性)的方式组合任何两个元素以形成第三个元素。

子组：
如果组G的非无效子集H本身是在G的操作下的一个组，我们说H是G的子组。

证明 ：
证明组G的两个子组的交集再次是G的子组。

证明 ：
令H ₁和H ₂为G的任意两个子组。
然后，

H1 ∩  H2  ≠  ∅

由于至少标识元素“ e”对于H ₁和H ₂都是公共的。
为了证明H _{1∩H 2}是一个亚组，它是足以证明

a ∈ H1 ∩ H2 ,  b ∈ H1 ∩ H2
⇢ a b-1 ∈ H1 ∩ H2

现在，

a ∈ H1 ∩ H2  
⇢ a ∈ H1  and   a ∈ H2
   b ∈ H1 ∩ H2
⇢ b ∈ H1  and   b ∈ H2

由于H ₁和H ₂是子组。
所以，

a ∈ H1  ,  b ∈ H1
⇢  ab-1 ∈ H1 

和

a ∈ H2 ,  b ∈ H2
⇢ ab-1 ∈ H2

因此，

ab-1 ∈ H1    and     ab-1 ∈ H2
⇢ ab-1 ∈ H1 ∩ H2

因此，H1∩H2是G的一个子组，这就是我们的定理，即，一个组的两个子组的交集再次是一个子组。