普通子组：

令G为一组。 G的一个子群H被认为是G的正常子群如果对所有h∈H和X∈G，XHX ^-1∈ħ

如果x H x ^-1 = {xhx ^-1 | ħ∈H}则H是正常G中，当且仅当XH X ^{-1⊆H，∀X∈ģ}

陈述：如果G是一个阿贝尔群，则G的每个子组H在G中都是正常的。

证明：让任何一个h∈H，x∈G，那么
xhx ^-1 = x(hx ^-1 )
xhx ^-1 =(xx ^-1 )h
xhx ^-1 = eh
^{xhx -1} =h∈H

因此，H是G的正常子组。

组同态：

同态是映射f：G→G'，使得f(xy)= f(x)f(y)，x，y∈G.尽管组G和G'是不同的。上述条件称为同态条件。

同态核：-从群G到身份为e'的群G'的同态f的核是集合{x∈G | f(x)= e'}

f的内核由Ker f表示。

如果f：G→G'是G到G'的同态，则f的图像集是映射f的范围，用f(G)表示。从而

Im(f)= f(G)= {f(x)∈G'| x∈G}

如果f(G)= G'，则G'被称为G的同态图像。

注意：-组同态

同构：

令(G _1，*)和(G _2，0)是两个代数系统，其中*和0都是二进制操作。该系统(G _1，*)和(G _2，0)被认为是同构，如果存在一个同构映射F：G _{1→G 2}

当两个代数系统是同构的时，这些系统在结构上是等效的，可以通过简单地保留元素和运算来从另一个系统中获得一个系统。

示例：令(A ₁ ，*)和(A ₂ ，⊡)为两个代数系统，如图2所示。确定两个代数系统是否同构。

解：两个代数系统(A ₁ ，*)和(A ₂ ，⊡)是同构的，而(A ₂ ，⊡)是A ₁的同构图像，使得

f(a)= 1
f(b)= w
f(c)= w ²

自同构：

令(G _1，*)和(G _2，0)是两个代数系统，其中*和0都是分别在G ₁和G ₂的二进制运算。然后从(G _1，*)至(G _2，0)的同构被称为当G ₁ = G ₂的构

戒指：

如果R是满足以下条件的代数系统(R，+，)，则R是具有两个任意二进制运算+和。的集合。

• (R，+)是一个阿贝尔群。
• (R，∙)是一个半群。
• 对于所有a，b，c∈R，乘法运算在加法运算+ ie上是分布的，即a(b + c)= ab + ac和(b + c)a = ba +ca。

例1：认为M是所有类型的矩阵的集合矩阵加法和矩阵乘法下的整数。因此，M形成环。

例2：在加法和乘法模9下的集合Z _{9 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8}形成一个环。}

戒指类型：

1.交换环：如果环(R，+，)在乘法运算(即a)下保持交换律，则称为交换环。 b = b。 a，每a，b∈R

例1：在加法和乘法运算下，考虑所有偶数整数的集合E。集E形成交换环。

2.统一环：如果环(R，+，)具有乘法身份，则称为统一环。

示例：考虑矩阵乘法和矩阵加法下整数上所有2 x 2矩阵的集合M。集合M形成一个环 。

3.零除环：如果ab = 0，其中a和b是环(R，+)中R的任意两个非零元素，则a和b称为零和环(R，+)的除法被称为零除环。

4.无零除的环：代数系统(R，+)，其中R是具有两个任意二进制运算+的集合，如果每个a，b∈R，我们有ab≠0⟹，则称其为无零除数的环。 a≠0和b≠0

子环：

环(R，+)的子集A如果满足以下条件，则称为R的子环：

(A，+)是组(R，+)的子组

对于每个a，b∈A，A在乘法运算(即ab∈A)下是闭合的。

示例：整数环(I，+)是实数环(R，+)的子环。

注意：1.如果R是任何环，则{0}和R是R的子环。2.两个子环的总和可能不是子环。 3.子环的交点是一个子环。