子组：

如果组G的非无效子集H本身是在G的操作下的一个组，我们说H是G的子组。

定理：-在下列情况下，组G的子集H是G的子集：

• 身份元素a∈H.
• H在G的运算下是闭合的，即如果a，b∈H，那么a，b∈H并且
• H被下逆关闭，即如果a∈H，则一个^-1∈H.

循环子群：-

如果存在一个元素x∈G，则G组的一个子组K被称为循环子组，这样对于某个n∈Z ^{，K的每个元素都可以用x n的形式写出。}

元素x称为K的生成器，我们写K =

循环组：

在G = ，我们说G是循环的，x是G的生成器。也就是说，如果存在一个元素x∈G，那么G的组就可以说是循环的，这样G的每个元素都可以用x ^{n的形式写成}n∈Z

示例：在常规乘法下，组G = {1，-1，i，-i}是一个以i为生成器的有限循环组，因为i ¹ = i，i ² = -1，i ³ = -i和i ⁴ = 1

阿贝尔集团：

让我们考虑一个代数系统(G，*)，其中*是G的二元运算。然后，如果系统(G，*)满足该组的所有属性以及一个附加的跟随属性，则称其为阿贝尔群。 ：

(1)运算*是可交换的，即
a *="" a∀a，b∈g<="" b="b" p="">

示例：考虑一个代数系统(G，*)，其中G是所有非零实数的集合，而*是由以下项定义的二进制运算

证明(G，*)是一个阿贝尔群。

解：

闭包特性：由于a * b = 是一个实数。因此，它属于G。

关联属性：操作*是关联的。设a，b，c∈G

身份：要找到身份元素，我们假设e是+ ve实数。然后e * a = a，其中a∈G。

因此，G中的标识元素为4。

逆：让我们假设a∈G。如果^-1∈Q，是的逆，然后A * A ^{-1 = 4}

因此，G中元素a的逆是

可交换的： G上的运算符*是可交换的。

因此，代数系统(G，*)是封闭的，关联的，恒等式，逆和可交换的。因此，系统(G，*)是一个阿贝尔群。

组的乘积：

定理：证明如果(G ₁ ，* ₁ )和(G ₂ ，* ₂ )是组，则G = G ₁ x G _2，即(G，*)是一个由(a ₁ ，b ₁ )*(a ₂ ，b ₂ )=(a ₁ ，* ₁ ，a ₂ ，b ₁ * ₂ b ₂ )。

证明：为了证明G ₁ x G ₂是一个基团，我们必须证明G ₁ x G ₂具有缔合性运算符，具有一个恒等式，并且每个元素都存在逆。

关联性。设a，b，c∈G ₁ x G ₂ ，则

因此，a *(b * c)=(a ₁ ，a ₂ )*((b ₁ ，b ₂ )*(c ₁ ，c ₂ ))
=(a ₁ ，a ₂ )*(b ₁ * ₁ c ₁ ，b ₂ * ₂ c ₂ )
=(a ₁ * ₁ (b ₁ * ₁ c ₁ )，a ₂ * ₂ (b ₂ * ₂ c ₂ )
=(((a ₁ * ₁ b ₁ )* ₁ c ₁ ，(a ₂ * ₂ b ₂ )* ₂ c ₂ )
=(a ₁ * ₁ b ₁ ，a ₂ * ₂ b ₂ )*(c ₁ ，c ₂ )
=(((a ₁ ，a ₂ )*(b ₁ ，b ₂ ))*(c ₁ ，c ₂ )
=(a * b)* c。

身份：令e ₁和e ₂分别是G ₁和G _2的身份。_{那么，G 1} x G ₂的恒等式为e =(e ₁ ，e ₂ )。假设a∈G ₁ x G ₂

然后，a * e =(a ₁ ，a ₂ )*(e ₁ ，e ₂ )
=(a ₁ * ₁ e ₁ ，a ₂ * ₂ e ₂ )
=(a ₁ ，a ₂ )= a

同样，我们有e * a = a。

逆：_{要确定G 1} x G _2中元素的逆，我们将按分量确定元素的逆，即
a ^-1 =(a ₁ ，a ₂ ) ^-1 =(a ₁ ^-1 ，a ₂ ^-1 )

现在，要验证这是确切的逆，我们将计算* * ^-1和^-1 * a。

现在，a * a ^-1 =(a ₁ ，a ₂ )*(a ₁ ^-1 ，a ₂ ^-1 )
=(a ₁ * ₁ a ₁ ^-1 ，a ₂ * ₂ a ₂ ^-1 )=(e ₁ ，e ₂ )= e

同样，我们有一个^-1 * a = e。

因此，(G ₁ ×G ₂ ，*)是一个基团。

通常，如果G ₁ ，G ₂ ，….. G _n是组，则G = G ₁ x G ₂ x … x G _n也是组。

紧身胸衣

令H为G组的子组。G中H的左陪集是G的子集，其元素可以表示为xH = {xh |对于任何x∈G，h∈H}。元素x称为陪集的表示。类似地，G中H的右陪集是可以表示为Hx = {hx | h∈H}，对于任何x∈G。因此，复数xH和Hx分别称为左陪集和右陪集。

如果分组运算是加法运算(+)，则左陪集表示为x + H = {x + h | h∈H}，右陪集由H + x = {h + x | h∈H}