数学 |线性方程组的LU分解

矩阵的LU分解是将给定的方阵分解为两个三角矩阵，一个上三角矩阵和一个下三角矩阵，使得这两个矩阵的乘积给出原始矩阵。它是由艾伦图灵于 1948 年引入的，他还创造了图灵机。

这种将矩阵分解为两个三角矩阵乘积的方法具有多种应用，例如方程组的求解，它本身是许多应用的组成部分，例如在电路中寻找电流和离散动态系统问题的求解；求矩阵的逆并求矩阵的行列式。
基本上，只要可以将要解决的问题建模为矩阵形式，LU 分解方法就会派上用场。转换为矩阵形式并用三角矩阵求解，可以方便地在求解过程中进行计算。

方阵 A 可以分解为两个方阵 L 和 U，使得 A = LU 其中 U 是对 A 应用高斯消元法形成的上三角矩阵，L 是下三角矩阵，对角元素为等于 1。

对于 A = $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ ，我们有 L = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 1 \end{bmatrix}$和 U = $\begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{bmatrix}$ ;使得 A = L U。

$\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ l_{21} & 1 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & 0 \end{array}\right] *\left[\begin{array}{ccc} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ 0 & u_{22} & u_{23} \\ 0 & 0 & u_{33} \end{array}\right]$

这里可以比较和找到_{l 21} 、u _{11 等的值。}

高斯消元法
根据高斯消元法：

1. 任何零行都应位于矩阵的底部。
2. 每行的第一个非零条目应位于前一行的第一个非零条目的右侧。该方法将矩阵缩减为行梯形。

LU分解步骤：

• 给定一组线性方程，首先将它们转换为矩阵形式 AX = C 其中 A 是系数矩阵，X 是变量矩阵，C 是方程右侧的数字矩阵。
• 现在，将系数矩阵 A，即从所有给定方程中的变量系数获得的矩阵，使得对于 ‘n’ 个变量，我们有一个 nXn 矩阵，使用高斯消元法将其简化为行梯形。这样得到的矩阵是 U。
• 要找到 L，我们有两种方法。第一个是将剩余的元素假设为一些人工变量，使用 A = LU 制作方程并求解它们以找到那些人工变量。
  另一种方法是剩下的元素是乘数系数，因此在U矩阵中各自的位置变为零。 (这个方法用文字来理解有点棘手，但在下面的例子中会很清楚)
• 现在，我们有 A(nXn 系数矩阵)、L(nXn 下三角矩阵)、U(nXn 上三角矩阵)、X(nX1 变量矩阵)和 C(右侧的 nX1 数字矩阵)方程的手边)。
• 给定的方程组是 AX = C。我们代入 A = L U。因此，我们有 LUX = C。
  我们把 Z = UX，其中 Z 是一个矩阵或人工变量，首先求解 LZ = C，然后求解 UX = Z 以找到 X 或变量的值，这是必需的。

例子：
使用 LU 分解方法求解以下方程组：

    $\begin{equation*} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{equation*} \begin{equation*} 4x_1 + 3x_2 - x_3 = 6 \end{equation*} \begin{equation*} 3x_1 + 5x_2 + 3x_3 = 4 \end{equation*}$

解决方案：这里，我们有

一 = $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} , X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$和$C = \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}$使得 AX = C。

现在，我们首先考虑$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix}$并使用高斯消元法将其转换为行梯形形式。

所以，通过做

(1)   $\begin{equation*} R_2 \to R_2 - 4R_1 \end{equation*}$

(2)   $\begin{equation*} R_3 \to R_3 - 3R_1 \end{equation*}$

我们得到

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 3 \end{bmatrix} \sim$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

现在，通过做

(3)   $\begin{equation*} R_3 \to R_3 - (-2)R_2 \end{equation*}$

我们得到

$\sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$

(记住始终保持 ‘-‘ 符号之间，将 ‘+’ 符号替换为两个 ‘-‘ 符号)

因此，我们得到 L = $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{bmatrix}$和 U = $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix}$

(注意在 L 矩阵中， $l_{21} = 4$来自(1)， $l_{31} = 3$来自 (2) 和$l_{32} = -2$来自 (3))

现在，我们假设 Z $= \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix}$并求解 LZ = C。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix}$

所以，我们有$z_1 = 1 ,$$4z_1 + z_2 = 6 ,$$3z_1 - 2z_2 + z_3 = 4 .$

求解，我们得到$z_1 = 1$ , $z_2 = 2$和$z_3 = 5$ .

现在，我们解决 UX = Z

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -5 \\ 0 & 0 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}$$= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

因此，我们得到$x_1 + x_2 + x_3 = 1 ,$$-x_2 - 5x_3 = 2$ , $-10x_3 = 5 .$

因此，给定线性方程组的解是$x_1 = 1$ , $x_2 = 0.5$ , $x_3 = -0.5$因此矩阵 X = $\begin{bmatrix} 1 \\ 0.5 \\ -0.5 \end{bmatrix}$

锻炼：
在矩阵的LU分解中

| 2  2 |
| 4  9 |

，如果 U 的对角线元素都是 1，那么 L 的下对角线项 l22 是 (GATE CS 2015)
(一) 4
(乙) 5
(三) 6
(四) 7
对于解决方案，请参阅 https://www.geeksforgeeks.org/gate-gate-cs-2015-set-1-question-28/