数学 |线性方程组

矩阵的踪迹：
设A=[a _ij ] _nxn为n阶方阵，则对角线元素之和称为矩阵的迹，记为tr(A)。 tr(A) = a ₁₁ + a ₂₂ + a ₃₃ + ……….+ a _nn

矩阵迹的性质：
设 A 和 B 是任意两个 n 阶方阵，则

1. tr(kA) = k tr(A) 其中 k 是一个标量。
2. tr(A+B) = tr(A)+tr(B)
3. tr(AB) = tr(A)-tr(B)
4. tr(AB) = tr(BA)

线性方程组的解：
线性方程可以有三种可能的解：

• 没有解决方案
• 独特的解决方案
• 无限解

矩阵的秩：矩阵的秩是行缩减形式的非零行数或最大独立行数或最大独立列数。
设 A 是任何 mxn 矩阵，它有不同阶的方子矩阵。如果矩阵满足以下性质，则称该矩阵的秩为 r：

1. 它至少有一个具有非零行列式的 r 阶方阵。
2. (r+1) 阶或高于 r 的平方子矩阵的所有行列式都为零。

等级表示为 P(A)。
如果 A 是 n 阶非奇异矩阵，则 A = n 的秩，即 P(A) = n。

矩阵的秩的性质：

1. 如果 A 是空矩阵，则 P(A) = 0 即空矩阵的秩为零。
2. 如果 I _n是 nxn 单位矩阵，则 P(A) = n。
3. 矩阵 A mxn 的秩，P(A) ≤ min(m,n)。因此 P(A) ≤m 且 P(A) ≤ n。
4. P(A _nxn ) = n 如果 |A| ≠ 0
5. 如果 P(A) = m 且 P(B)=n，则 P(AB) ≤ min(m,n)。
6. 如果 A 和 B 是 n 阶方阵，那么 P(AB) ? P(A) + P(B) – n。
7. 如果 A _m×1是非零列矩阵，B _1×n是非零行矩阵，则 P(AB) = 1。
8. 偏斜对称矩阵的秩不能等于 1。

齐次线性方程组 AX = 0 。

1. X = 0. 总是一个解；意味着所有未知数的值都为零。 (这也称为平凡解)
2. 如果 P(A) = 未知数，唯一解。
3. 如果 P(A) < 未知数，则解数无限。

非齐次线性方程组 AX = B 。

1. 如果 P[A:B] ≠ P(A)，则无解。
2. 如果 P[A:B] = P(A) = 未知变量的数量，唯一解。
3. 如果 P[A:B] = P(A) ≠ 未知数，无限多个解。

这里 P[A:B] 是 AX = B 的高斯消元表示的秩。
线性方程组有两种状态：

• 一致状态：具有一个或多个解的方程组称为一致方程组。
• 不一致状态：没有解的方程组称为不一致方程组。

向量的线性相关性和线性独立性：

线性相关：一组向量 X ₁ ,X ₂ …. _{X r}被称为线性相关，如果存在 r 个标量 k ₁ ,k ₂ ….. _{k r}使得： k ₁ X ₁ + k ₂ X ₂ + ……..k _r X _r = 0。

线性无关：一组矢量X _{1，X 2}的… .X _r被说成是线性独立的，如果对所有的R标量K _{1，K 2} … ..k _R，如K ₁ X ₁ + K ₂ X ₂ + … …..k _r X _r = 0，则 k ₁ = k ₂ =……。 = k _r = 0。
如何确定线性相关性和独立性?
令 X ₁ , X ₂ …. _{X r}为给定向量。以给定的向量作为行构造一个矩阵。

1. 如果给定向量的矩阵的秩小于向量的数量，则这些向量线性相关。
2. 如果给定向量的矩阵的秩等于向量的数量，那么这些向量是线性无关的。

参考：
http://www.dr-eriksen.no/teaching/GRA6035/2010/lecture2-hand.pdf