数学 |谓词和量词 |设置 1

先修课程：命题逻辑导论

介绍
考虑以下示例。我们只需要使用命题逻辑将以下句子转换为数学语句。

"Every person who is 18 years or older, is eligible to vote."

仅使用命题逻辑无法充分表达上述陈述。尝试这样做的问题在于命题逻辑的表达能力不足以处理量化的变量。如果声明是指特定的人，那会更容易。但由于情况并非如此，而且该声明适用于所有 18 岁或 18 岁以上的人，因此我们陷入困境。
因此，我们需要一种更强大的逻辑类型。

谓词逻辑
谓词逻辑是命题逻辑的扩展。它添加了谓词和量词的概念，以更好地捕捉命题逻辑无法充分表达的语句的含义。

什么是谓词?

考虑一下声明，“ $x$大于 3 英寸。它有两个部分。第一部分，变量$x$ , 是声明的主题。第二部分“大于3”是谓词。它指的是语句的主题可以具有的属性。
该声明 ” $x$大于 3″ 可以表示为$P(x)$在哪里$P$表示谓词“大于 3”和$x$是变量。
谓词$P$可以认为是一个函数。它告诉了语句的真值$P(x)$在$x$ .一旦将值分配给变量$x$ ， 该声明$P(x)$成为一个命题并具有真或假(tf)值。
一般来说，一个涉及n个变量的语句$x1, x2, x3,.. , xn$可以表示为$P(x1, x2, x3,.. , xn)$ .这里$P$也称为n 位谓词或n 元谓词。

• 示例 1：让$P(x)$表示声明“ $x$ > 10 英寸。什么是真值$P(11)$和$P(5)$ ?

  解决方案： $P(11)$等价于语句 11 > 10，为 True。
  $P(5)$等价于语句 5 > 10，为 False。

• 示例 2：让$R(x,y)$表示声明“ $x = y + 1$ “。命题的真值是多少$R(1,3)$和$R(2,1)$ ?
  解决方案： $R(1,3)$是陈述 1 = 3 + 1，这是错误的。
  $R(2,1)$是陈述 2 = 1 + 1，这是真的。

什么是量词?

在谓词逻辑中，谓词与量词一起使用，以表达谓词在一系列元素上为真的程度。使用量词来创建这样的命题称为量化。

有两种类型的量化 –

1. 通用量化——数学陈述有时会断言一个属性对于特定域中变量的所有值都为真，称为讨论域。这样的陈述是使用全称量化来表达的。
通用量化$P(x)$对于一个特定的域是断言的命题$P(x)$对所有值都为真$x$在这个域中。域在这里非常重要，因为它决定了可能的值$x$ .全称量化的意义$P(x)$域更改时更改。使用通用量化时必须指定域，因为没有它，它就没有意义。

形式上，通用量化$P(x)$是声明“ $P(x)$对于所有值$x$在域中”的符号$\forall P(x)$表示通用量化$P(x)$ .这里$\forall$称为全称量词。 $\forall P(x)$读作“对于所有$x$$P(x)$ ”。

• 示例 1：让$P(x)$成为声明“ $x + 2$ > $x$ “。什么是陈述的真值$\forall xP(x)$ ?
  解决方案：作为$x+2$大于$x$对于任何实数，所以$P(x) \equiv T$对全部$x$要么$\forall xP(x) \equiv T$ .

2. 存在量化 –一些数学陈述断言存在具有特定属性的元素。这样的陈述是通过存在量化来表达的。存在量化可用于形成一个命题，当且仅当$P(x)$对于至少一个值是真的$x$在域中。

形式上，存在量化$P(x)$是陈述“存在一个元素$x$在域中使得$P(x)$ ” 记号$\exists P(x)$表示存在量化$P(x)$ .这里$\exists$称为存在量词。 $\exists P(x)$读作“至少有一个这样的$x$以至于$P(x)$ ”。

• 例子：让$P(x)$成为声明“ $x$ > 5 英寸。什么是陈述的真值$\exists xP(x)$ ?
  解决方案： $P(x)$对于所有大于 5 的实数为真，对于所有小于 5 的实数为假。所以$\exists xP(x) \equiv T$ .

总结一下，

$\begin{tabular}{||c||c||c||} \hline Statement & When True? & When False? \\ \hline \hline \forall P(x) & P(x) is\:true\:for\:all\:x & There\:is\:an\:x\:for\:which\:P(x)\:is\:false \\ \hline \exists P(x) & There\:is\:an\:x\:for\:which\:P(x)\:is\:true & P(x) is\:false\:for\:all\:x \\ \hline \end{tabular}$

现在，如果我们尝试将本文开头给出的语句转换为使用谓词逻辑的数学语句，我们会得到类似-

$\forall P(x) \leftrightarrow Q(x) \\$这里，P(x) 是陈述“x 是 18 岁或以上，Q(x) 是陈述”x 有资格投票。

请注意，给定的语句没有被提及为双条件语句，但我们使用了一个。这是因为自然语言有时是模棱两可的，我们做了一个假设。之所以做出这个假设，是因为一个人当且仅当他/她年满 18 岁时才能投票。有关更多解释，请参阅命题逻辑简介。

其他量词——
尽管全称量词和存在量词在数学和计算机科学中是最重要的，但它们并不是唯一的。事实上，可以定义的不同量词的数量没有限制，例如“正好两个”、“最多三个”、“至少有10个”等等。
在所有其他可能的量词中，最常见的是唯一性量词，表示为$\exists !$ .

符号$\exists !xP(x)$陈述“存在一个独特的$x$以至于$P(x)$是真的”。

具有限制域的量词
我们知道，如果量词绑定的变量没有域，则量词是没有意义的。以下缩写符号用于限制变量的域-
$\forall x$ > 0, $x^2$ > 0。
上面的语句限制了域$x$ , 是写另一个命题的简写，它说$x > 0$ ，在声明中。
如果我们尝试使用一个蕴涵来重写这个语句，我们会得到——
$\forall x (x$ > $0\: \rightarrow \: x^2$ > $0)$
类似地，使用存在量词的语句可以使用域限制命题和实际谓词之间的连接来重述。

1. 全称量化的限制与条件语句的全称量化相同。
2. 存在量化的限制与合取的存在量化相同。

需要注意的定义：

1. 绑定变量 –一个变量的出现被一个量词绑定
一个绑定变量。不受任何量词约束的变量称为自由变量。
2. 范围——应用量词的逻辑表达式部分称为
量词的范围。

该主题已分为两部分。本主题的第二部分在另一篇文章-谓词和量词-集2中进行了解释

参考-
一阶逻辑 – 维基百科
量词 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen