数学 |匹配（图论）

先决条件 –图论基础
给定一个无向图，匹配是一组边，这样没有两条边共享同一个顶点。换句话说，图的匹配是一个子图，其中子图的每个节点都有零条或一条边与之相关。
如果边与顶点相匹配，则称该顶点匹配，否则为自由。
可能的匹配$K_4$ ，这里的红色边缘表示匹配 –

匹配术语——

最大匹配 – A 匹配$M$图的$G$如果添加一条边，则称其为最大$G$但不在$M$ , 使$M$不是匹配。
换句话说，最大匹配$M$不是任何其他匹配的适当子集$G$ .例如，以下图表是最大匹配——

将任何边添加到上述任何图形中都会导致它们不再匹配。

最大匹配 – A 匹配$M$图的$G$如果它是最大的并且具有最大的边数，则称它是最大的。
一个图可能有许多可能的最大匹配。
每个最大匹配都是最大匹配，但不是每个最大匹配都是最大匹配。
例如，在第一张图中$G_3$是最大匹配，在第二个图中，第二个和第三个图是最大匹配。

完美匹配——一个匹配$M$图的$G$如果每个顶点都恰好连接到一条边，则称它是完美的。每个完美匹配都是最大匹配，但不是每个最大匹配都是完美匹配。
由于每个顶点都必须包含在完美匹配中，因此匹配中的边数必须为$\frac{|V|}{2}$其中 V 是顶点数。因此，只有在顶点数为偶数时才存在完美匹配。
例如在第一张图中， $G_3$是绝配。
如果原始图中的顶点数是奇数，则称匹配接近完美，这是最大匹配并且只遗漏了一个顶点。例如在第二张图中，第三张图是近乎完美的匹配。

• 示例 –计算完整图中完美匹配的数量$K_n$ .
• 解决方案——如果完整图中的顶点数是奇数，即$n$是奇数，那么完美匹配的数量是 0。
  但是如果$n$即便如此，我们也可以推导出一个计算完美匹配数量的通用公式。
  自从$n$是偶数，我们可以将其表示为$2m$对于一些正整数$m$ .
  在完美图中，每个顶点都与其他每个顶点相连，因此每个顶点的度数为$2m-1$ .其中$2m-1$我们必须选择 1 条边来包含两个顶点。
  我们可以选择一个边缘$2m-1$方法。现在$2m-2$顶点仍然存在并且$(2m-2)-1 = 2m-3$边仍然存在，因为连接到已选择顶点的边无法选择，因为它是匹配的。
  所以从$2m-3$边是$2m-3$ .
  我们可以继续以同样的方式选择边，然后通过乘积规则——
  完美匹配数- $(2m-1) * (2m-3) *...*3*1$ .
  这也可以写成——
  $=\:\frac{\{(2m-1) * (2m-3) *...*3*1\}*\{(2m) * (2m-2) *...*4*2\}}{\{(2m) * (2m-2) *...*4*2\}}$
  $=\:\frac{(2m)!}{\{2^m * (m) * (m-1) *...*2*1\}}$
  $=\:\frac{(2m)!}{2^m * m!}}$
  所以对于一个完美的图形$2m$顶点完美匹配的数量是- $=\:\frac{(2m)!}{2^m * m!}}$

二分匹配——
匹配在流网络、调度和规划、图着色、神经网络等方面有很多应用。其中最常见的是调度问题，其中有$m$可以完成的任务$n$工人。任务和工人代表二部图中的两组顶点，如果工人能够完成任务，则任务与工人相连。
因此，问题是找到最大匹配。
文章中讨论了有关此主题的更多信息 – 最大二部匹配

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2003，问题 36

参考 –

匹配 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen