数学 |谓词和量词 | 2套

先决条件：谓词和量词集 1，命题等价

涉及量词的逻辑等价
两个涉及谓词和量词的逻辑陈述被认为是等价的，当且仅当它们具有相同的真值，无论将哪些谓词代入这些陈述中，而与用于命题中变量的域无关。
有两个非常重要的等价物涉及量词，如下所示-

1. $\forall x(P(x)\wedge Q(x)) \equiv \forall xP(x) \wedge \forall xQ(x)$ 2. $\exists x(P(x)\vee Q(x)) \equiv \exists xP(x) \vee \exists xQ(x)$

人们不得不思考，如果在(1)中用析取代替连词，在(2)中用析取代替析取，等价是否成立。答案似乎是肯定的，但仔细想想，您会意识到答案是否定的。

为了证明它们为什么不等价，我们必须了解是什么使两个陈述等价。如上一篇文章中所解释的命题等价两个陈述$P$和$Q$是等价的，如果-

$P\Leftrightarrow Q$ ，也可以重述为$P\Rightarrow Q \wedge Q\Rightarrow P$ .

如果它们是等价的，那么
$\forall x(P(x)\vee Q(x)) \Leftrightarrow \forall xP(x) \vee \forall xQ(x)$和，
$\exists x(P(x)\wedge Q(x)) \Leftrightarrow \exists xP(x) \wedge \exists xQ(x)$
两者都必须是真的。

让我们先检查一下$\forall x(P(x)\vee Q(x)) \Leftrightarrow \forall xP(x) \vee \forall xQ(x)$ .
是$\forall x(P(x)\vee Q(x)) \Rightarrow \forall xP(x) \vee \forall xQ(x)$真的?
不。

证明——假设假设$\forall x(P(x)\vee Q(x))$是真的。这意味着有一定的$x$为此$P(x)$是真的，其他地方$Q(x)$是真的。
也有可能对某些$x$两个都$P(x)$和$Q(x)$是真的。但无论如何，所有$x$必须要么满足$P(x)$要么$Q(x)$或两者兼而有之，因为假设是正确的。
当析取为真时，结论(RHS)为真。从上面的推理可以清楚地看出$P(x)$对于某些值是真的$x$和$Q(x)$对于一些。
因此两者$\forall xP(x)$和$\forall xQ(x)$是假的，因为它们对所有的值都不是真的$x$ .
在这种情况下$P(x)$和$Q(x)$所有人都持有$x$那么这个等价为真，否则为假。

所以， $\forall xP(x) \vee \forall xQ(x) \equiv F$ .根据我们的假设，假设是正确的，但我们的结论却是错误的。这对于条件来说不可能是真的，因此条件
$\forall x(P(x)\vee Q(x)) \Rightarrow \forall xP(x) \vee \forall xQ(x)$是假的。

由于一个条件为假，所以完整的双条件为假。因此， $\forall x(P(x)\vee Q(x)) \not\equiv \forall xP(x) \vee \forall xQ(x)$ .

类似地，还可以证明，
$\exists x(P(x)\wedge Q(x)) \not\equiv \exists xP(x) \wedge \exists xQ(x)$

作为练习，证明上述非等价性以及涉及上述量词的等价性。记住要证明双条件，而不仅仅是一个条件。

否定量化陈述
考虑一下“每个计算机科学专业的毕业生都上过离散数学课程”这句话。
上面的说法是一个通用的量化， $xP(x)$
在哪里$P(x)$是陈述“x 参加了离散数学课程”以及$x$是所有计算机科学毕业生。
对这一说法的否定是“并不是每个计算机科学专业的毕业生都上过离散数学课程”或者干脆“有一个计算机科学专业的毕业生没有上过离散数学课程”。
上述陈述可以使用存在量化来表达。
$\exists x \neg P(x)$
因此，我们得到以下逻辑等价 –
$\neg \forall xP(x) \equiv \exists x \neg P(x)$
相似地，
$\neg \exists xP(x) \equiv \forall x \neg P(x)$
这些等价只是量词否定的规则。它们也被称为量词的 De Morgans 定律。

总之， $\begin{tabular}{||c||c||c||c||} \hline Negation & Equivalent statement & When true? & When false?\\ \hline \hline \neg \exists xP(x) & \forall x \neg P(x) & P(x) \equiv F,\:for\:all\:x & P(x) \equiv T, \:for\:some\:x \\ \hline \neg \forall xP(x) & \exists x \neg P(x) & \neg P(x) \equiv T,\:for\:some\:x & P(x) \equiv T, \:for\:all\:x \\ \hline \end{tabular}$

嵌套量词
可以使用两个量词，这样一个量词在另一个量词的范围内。在这种情况下，称量词是嵌套的。
例如， $\forall x \exists y (x + y = 0)$
上述声明读作“对于所有$x$ ，存在一个$y$以至于$x + y = 0$ .

注意：量词的相对顺序很重要，除非所有量词都是同一种类型，即都是全称量词或都是存在量词。

总之， $\begin{tabular}{||c||c||c||} \hline Statement & When true? & When False? \\ \hline \hline \forall x \forall y P(x,y) & P(x,y) \equiv T\: for\: every\: (x,\:y)& P(x,y) \equiv F \: for \:some\:(x,\:y)\\ \forall y \forall x P(x,y) & & \\ \hline \forall x \exists y P(x,y) & \shortstack{For\:every\:x\:there\:is\:a\:y\:such\:that \\ P(x,y) \equiv T}&\shortstack{There\:is\:an\:x\:such\:that\\P(x,y) \equiv F \: for \:all\:y}\\[3ex] \hline \exists x \forall y P(x,y) &\shortstack{There\:is\:an\:x\:such\:that\\P(x,y) \equiv T \: for \:all\:y}& \shortstack{For\:every\:x\:there\:is\:a\:y\:such\:that\\P(x,y) \equiv F\:}\\[3ex] \hline \exists x \exists y P(x,y) & P(x,y) \equiv T\: for\: some\: (x,\:y)& P(x,y) \equiv F \: for \:all\:(x,\:y)\\ \exists y \exists x P(x,y) & & \\ \hline \end{tabular}$

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。
1. GATE CS 2012，问题 17
2. GATE CS 2013，问题 27
3. GATE CS 2013，问题 47
4. GATE CS 2010，问题 30
5. GATE CS 2009，问题 26
6. GATE CS 2005，问题 36
7. GATE CS 2016 Set-2，问题 37
离散数学在 GATE 中提出的大多数问题都集中在谓词逻辑上。几乎所有这些都涉及量词。