线性代数中的正交和正交向量

正交向量：当点积为 0 时，两个向量彼此正交。
我们如何定义点积?
两个 n 维向量 A 和 B 的点积(标量积)由该表达式给出。

$A . B=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$
因此向量 A 和 B 彼此正交当且仅当
$A.B=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=A^{T} B=0$
注意：在紧凑形式中，上述表达式可以写为(A^T)B 。

例子：
考虑 3D 空间中的向量 v1 和 v2。

$v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right]$

取向量的点积。

$v_{1}, v_{2}=V_{1}^{T} V_{2}=[1-24]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right]=0$
因此向量彼此正交。

代码：用于说明正交向量的Python程序。

# A python program to illustrate orthogonal vector
   
# Import numpy module
import numpy
   
# Taking two vectors
v1 = [[1, -2, 4]]
v2 = [[2, 5, 2]]
   
# Transpose of v1
transposeOfV1 = numpy.transpose(v1)
   
# Matrix multiplication of both vectors
result = numpy.dot(v2, transposeOfV1)
print("Result  = ", result)
   
# This code is contributed by Amiya Rout

输出：

Result = [[0]]

单位向量：
让我们考虑一个向量 A。向量 A 的单位向量可以定义为

$\hat{a}=\frac{A}{|A|}$
让我们通过一个例子来理解这一点。考虑二维空间中的向量 A。
$A=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right]$
A 的大小由下式给出
$\text { Magnitude of } \mathrm{A}:|A|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
所以A的单位向量可以计算为
$\hat{a}=\frac{A}{|A|}=\left[\begin{array}{l} 3 / 5 \\ 4 / 5 \end{array}\right]$

单位向量的性质：

• 单位向量用于定义坐标系中的方向。
• 任何向量都可以写成单位向量和标量大小的乘积。

正交向量：
这些是具有单位幅度的向量。现在，取相同的 2 个彼此正交的向量，你知道当我在这 2 个向量之间取点积时，它将为 0。所以如果我们还强加条件，我们希望这些向量中的每一个都具有单位幅度那么我们可能做的就是取这个向量，然后把这个向量除以这个向量的幅度，就像我们在单位向量中看到的那样。现在我们可以将 v1 和 v2 写为

$v_{1}=\left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right] / \sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+4^{2}} \quad v_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right] / \sqrt{2^{2}+5^{2}+2^{2}}$

所以我们所做的是我们从前面的例子中获取向量，并通过将它们除以它们的大小将它们转换为单位向量。因此，这些向量仍将彼此正交，现在它们也分别具有单位幅度。这样的向量被称为正交向量。

注意：根据定义本身，所有正交向量都是正交的。

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