矩阵的非零特征值的乘积
1 0 0 0 1
0 1 1 1 0
0 1 1 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1是 ______
(一) 4
(乙) 5
(三) 6
(四) 7答案： (C)
说明：特征方程为： | A – zI | = 0 ，其中 I 是 5 阶单位矩阵。
即下面显示的矩阵的行列式为 0。
1-z 0 0 0 1
0 1-z 1 1 0
0 1 1-z 1 0
0 1 1 1-z 0
1 0 0 0 1-z
现在求解这个方程以找到 z 的值。
解决步骤：
1) 将矩阵扩展第一行。
(1-z) [ ( 1-z , 1 , 1, 0 ) (1 , 1-z, 1, 0) (1, 1, 1-z, 0) (0, 0, 0, 1-z ) ] + 1. [ ( 0, 1-z, 1, 1 ) ( 0, 1, 1-z, 1) ( 0, 1, 1, 1-z )( 1, 0, 0, 0) ]
注意：(矩阵用括号表示，按行表示)
2) 沿最后一行展开上述两个 4×4 矩阵。
(1-z)(1-z) [ (1-z, 1, 1) (1, 1-z,1) (1 , 1, 1-z ) ] + 1.(-1) [ (1- z, 1, 1) (1, 1-z,1) (1, 1, 1-z ) ]
3)应用行转换来简化上述矩阵(两个矩阵相同)。
C1 <- C1 + C2 + C3
R2 <- R2- R1
R3 <- R3 – R1
结果是：
(1-z)(1-z) [ ( 3-z, 1, 1) (0, -z, 0) (0, 0, -z ) ] – 1. [ ( 3-z, 1, 1) (0, -z, 0) (0, 0, -z ) ]
4) 通过扩展第一列来求解矩阵。
结果是：
(1-z)(1-z)(z)(z) – (3-z)(z)(z) = 0
进一步解决得到：
z^3 ( 3-z ) ( z-2 ) = 0
因此 z = 0 , 0 , 0 , 3 , 2
因此非零特征值的乘积是 6。
这个问题的测验