让 A = { 1,2,3,4,…….∞ } 并且二元运算’+’定义为 a + b = ab ∀ a,b ∈ A。以下哪项是正确的?
(A) ( A, + ) 是半群但不是幺半群
(B) ( A, + ) 是幺半群但不是群
(C) ( A, + ) 是一个群
(D) ( A, + ) 不是半群
答案：(乙)
解释：
给定，A = { 1,2,3,4,…….∞ }
A: ( A,+ ) 要成为半群，它必须满足闭包性质和结合性质
闭包：给定，a + b = ab => 1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
所以我们对 a,b 取什么值，它们的 ab 值属于 A，所以它满足闭包。
结合性：为了满足它需要保持的结合性
( a + b) + c = a + ( b + c )
检查：
( a + b) + c = a + ( b + c )
ab + c = a + bc
abc = abc
所以对于 a,b,c 的所有值，关联属性满足
幺半群：
a + e = e + a = a, ∀ a ∈ A
ae = a
e = 1
标识元素是 1，所以 A 是幺半群。
团体：
a + b = b + a = e
它不满足性质，因为对于 a,b 的所有值，它不等于 e。所以它不是一个群体。
这个问题的测验