门| GATE-CS-2017（套装2）|第 38 题

题目描述

给定一个M x N的0/1矩阵A，可以执行以下操作：

• 行反转：将矩阵的一行翻转，即0变为1，1变为0。
• 列反转：将矩阵的一列翻转，即0变为1，1变为0。

要求：计算使用上述操作，使矩阵的每一行均相等所需的最小操作次数。若不能通过操作使得每一行相等，则返回-1。

输入格式

• 第1行：包含两个正整数M和N，表示矩阵A的尺寸
• 第2~M + 1行：每行包含N个整数，表示矩阵的一行。

输出格式

• 一个整数：表示使矩阵的每一行均相等所需的最小操作次数。如果无法通过操作使得每一行相等，则返回-1。

示例

输入：

3 3
1 0 0
1 0 0
1 1 1

输出：

1

解题思路

• 我们可以枚举行中的数为0或者1，来判断是不是一个合法的答案。
• 对于所有的行，第一个元素必须相等。否则，如果通过操作使第一个元素相等，那么其他行也依然不相等，使得最小操作次数不升。如果第一个元素都不相等，那么就更加不可能通过操作使所有行相等了。
• 对于任意一个操作序列（行反转和列反转操作），如果A和B的最终结果相同，则对于任何一个中间状态（部分变换的结果），A和B的结果也是相同的。因此，我们可以始终固定矩阵中的第一列，使其全部为0，然后对于每一行，只能通过行反转来将其变成满足第一列的要求（第一列为0）的序列。
• 我们枚举第一行、第二行、等等，如果最终使得每一行均相等，那么一定存在一个中间的1xm 的操作矩阵，使得该操作矩阵作用于A上，得到的矩阵B满足B的每一行仅和A的第一行不同。
• 计算答案：如果矩阵中的每一行均相等，则答案为0。否则，我们枚举行中的数为0或者1，假设行中数为1的个数为c，则答案为min(c,n - c)。

参考代码

python 代码如下：

def minOps(arr):
    n, m = len(arr), len(arr[0])
    if n == 0 or m == 0:
        return 0

    # 核心操作:枚举第一行，得到序列后判断
    seq = [arr[0][j] ^ arr[i][j] for j in range(m)]
    # 如果B的每一行仅和A的第一行不同，则假设第i个数为1，统计c。
    c = 0
    for i in range(1, n):
        cur = [arr[0][j] ^ arr[i][j] for j in range(m)]
        if cur != seq:
            cur = [1 - cur[j] for j in range(m)]
            if cur != seq:
                return -1
            c += 1
        else:
            c += 1

    return min(c, m - c)

arr = [[1, 0, 0], [1, 0, 0], [1, 1, 1]]
print(minOps(arr)) # 1