数学 |平面图和图着色

先决条件 –图论基础
考虑一个具有多个节点的电子电路，它们之间有连接。是否可以在一块板上打印该电路，以便没有任何连接相互交叉，即它们不重叠或相交?
如果我们了解图的平面性，就可以回答这个问题。

平面性—— “如果一个图可以在没有任何边缘交叉的平面上绘制，则称该图是平面图。这样的绘图称为图形的平面表示。”

重要说明 –即使绘制有交叉点，图形也可能是平面的，因为可以在没有交叉点的情况下以不同的方式绘制它。
例如考虑完整的图 $K_{4}$ 以及它的两种可能的平面表示——

示例 –是超立方体 $Q_{3}$ 平面?
解决方案 –是的， $Q_{3}$ 是平面的。它的平面表示——

平面图中的区域 –

图的平面表示将平面分成多个区域。除了一个没有边界的区域外，这些区域都以边为界。例如，考虑下图”

总共有6个区域，其中5个有界区域和1个无界区域 $R_{6}$ .
图的所有平面表示将平面分成相同数量的区域。欧拉发现平面图中区域的数量是图中顶点数和边数的函数。

定理—— “让是一个连通的简单平面图边缘和顶点。那么区域数在图中等于
其中 k 是编号。图中的组件。 。”

示例 –一个连接的平面简单图中的区域数是多少，该图中有 20 个顶点，每个顶点的度数为 3?
解决方案 –边的度数总和 = 20 * 3 = 60。通过握手定理，这使 .
根据欧拉定理，区域数 = 这给出了 12 个区域。

欧拉公式得到的一个重要结果是以下不等式——

注意—— “如果是一个连通平面图边缘和顶点，其中 $v\geq 3$ ，然后 $e\leq 3v - 6$ .还顶点的度数不能超过 5。”

示例 –是图形 $K_{5}$ 平面?
解决方案 –顶点和边的数量 $K_{5}$ 分别为 5 和 10。由于 10 > 3*5 – 6, 10 > 9 不等式 $e\leq 3v - 6$ 不满意。因此图形不是平面的。

图形着色 –

如果您决定创建一张地图并需要为其部分着色，请感到幸运，因为图论就在您身边。为地图区域着色所需的最大颜色数是多少?这个问题以及其他类似的问题在图论中产生了很多结果。
首先，让我们以正式的方式定义着色的约束——

着色—— “简单图形的着色是为图形的每个顶点分配一种颜色，这样没有两个相邻的顶点被分配相同的颜色。”

这个问题的一个简单解决方案是用不同的颜色为每个顶点着色以获得总共颜色。但在某些情况下，所需的实际颜色数量可能少于此数量。

色数 – “为图形着色所需的最少颜色数称为其色数。它表示为 $\chi (G)$ 。”

对于平面图，找到色数与找到为平面图着色所需的最小颜色数是相同的问题。

四色定理—— “平面图的色数不大于4。”

示例 1 –以下图形的色数是多少?
解决方案——在图中，色数至少为三，因为顶点 , ，和彼此相连。
以下颜色分配满足着色约束 –
– 红色的
– 绿色的
– 蓝色的
– 红色的
– 绿色的
– 蓝色的
– 红色的
因此色数为是 3。
在图中自从和也连接，因此色数如果为 4。
示例 2 –的色数是多少 $K_{n}$ ?
解——由于在一个完整图中，每个顶点都与其他每个顶点相连，因此色数为 .
示例 3 –的色数是多少 $C_{n}$ ?
解决方案 –如果顶点以交替方式着色，则循环图需要 2 种颜色。如果是奇数，那么最后一个顶点将与第一个顶点颜色相同，因此色数将为 3。但如果是偶数，则第一个和最后一个顶点将具有不同的颜色，色数将为 2。
示例 4 –的色数是多少 $K_{m,n}$ ?
解决方案——在二部图中 $K_{m,n}$ , 中的顶点被分成两组，使得同一组中的顶点之间没有边。因此，任何二部图的色数都是 2。一组顶点可以指定一种颜色，另一组可以指定不同的颜色，总共 2 种颜色。由于同一集合的顶点不相连，因此它将满足着色约束。

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2012，问题 21
2. GATE CS 2011，问题 17
3. GATE CS 2009，问题 2
4. GATE CS 2008，问题 23
5. GATE CS 2005 问题 10
6. GATE CS 2005，问题 47
7. GATE CS 2004，问题 77
8. GATE CS 2002，问题 4
9. GATE CS 2015 Set-1，问题 63
10. GATE CS 2008，问题 3
11. GATE CS 2016 Set-2，问题 13

参考-

平面图 – 维基百科
图形着色 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen