平面图：

如果可以在平面中绘制图形，从而没有边缘交叉，则称该图形为平面。

示例：图中所示的图是平面图。

图的区域：考虑一个平面图G =(V，E)。一个区域定义为平面的一个区域，该区域以边为边界并且无法进一步细分。平面图将平面图划分为一个或多个区域。这些区域之一将是无限的。

有限区域：如果区域的面积是有限的，则该区域称为有限区域。

无限区域：如果区域的面积是无限的，则该区域称为无限区域。平面图只有一个无限大的区域。

示例：考虑图所示。确定区域，有限区域和无限区域的数量。

解决方案：上图中有五个区域，即r ₁ ，r ₂ ，r ₃ ，r ₄ ，r ₅ 。

图中有四个有限区域，即r ₂ ，r ₃ ，r ₄ ，r ₅ 。

只有一个有限区域，即r ₁

平面图的属性：

• 如果连接的平面图G具有e个边缘和r个区域，则r≤ e。
• 如果连接的平面图G具有e个边，v个顶点和r个区域，则v-e + r = 2。
• 如果连接的平面图G具有e个边和v个顶点，则3v-e≥6。
• 当且仅当n <5时，完整图K _{n是平面。}
• 当且仅当m 3或n 3时，完整的二部图K _{mn是平面的。}

示例：证明完整的图K ₄是平面的。

解决方案：完整的图K ₄包含4个顶点和6个边。

我们知道对于一个连通平面图3v-e≥6。因此对于K ₄ ，我们有3×4-6 = 6，它满足属性(3)。

因此，K ₄是平面图。因此证明。

非平面图：

如果无法在平面中绘制图形，则该图形将被认为是非平面的，这样就不会有边缘交叉。

示例：图中所示的图是非平面图。

这些图不能在平面上绘制，因此没有边交叉，因此它们是非平面图。

非平面图的属性：

_{当且仅当它包含与K 5}或K _3,3同胚的子图时，该图才是非平面的

例1：证明K ₅是非平面的。

解决方案：完整的图K ₅包含5个顶点和10个边。

现在，对于连接的平面图3v-e≥6。

因此，对于K ₅ ，我们有3 x 5-10 = 5(这不满足属性3，因为它必须大于或等于6)。

因此，K ₅是非平面图。

例2：_{通过找到与K 5}或K _3,3同胚的子图，来表明图中所示的图是非平面的。

解决方案：如果我们删除图形G ₁的边线(V ₁ ，V ₄ )，(V ₃ ，V ₄ )和(V ₅ ，V ₄ )，则变为与K ₅同胚。因此它是非平面的。

如果我们去掉边V _2，V 7)，则图G _{2变为K 3,3的}同胚，因此它是非平面的。

图形着色：

假设G =(V，E)是没有多个边的图。 G的顶点着色是G的顶点的颜色分配，以便相邻的顶点具有不同的颜色。如果存在使用M-Colors的G着色，则图G是M-Colorable。

正确的着色：如果相邻的两个顶点u和v具有不同的颜色，则着色是正确的，否则称为不正确的着色。

示例：考虑以下图形，颜色C = {r，w，b，y}。使用所有颜色或更少的颜色正确地为图形着色。

图中显示的图形是最小的3色，因此x(G)= 3

解决方案：图中显示了用所有四种颜色正确着色的图形。

图显示了用三种颜色正确着色的图形。

G的色数：产生图形G正确着色所需的最小色数称为G的色数，并由x(G)表示。

示例： _{K n}的色数为n。

解决方案：通过为每个顶点分配不同的颜色，可以使用n种颜色构造_{K n}的着色。不能给两个顶点分配相同的颜色，因为此图形的每两个顶点相邻。因此，K _n = n的色数。

图形着色的应用

图形着色的一些应用包括：

• 注册分配
• 地图着色
• 二部图检查
• 移动无线电频率指配
• 制作时间表等

陈述并证明握手定理。

握手定理：图形G中所有顶点的度数之和等于图形中边数的两倍。

从数学上讲，它可以表示为：

_∑v∈Vdeg (v)= 2e

证明：令G =(V，E)是其中V = {v ₁ ，v ₂ ，。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。}是一组顶点，并且E = {e ₁ ，e ₂ 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。}是一组边。我们知道每个边都位于两个顶点之间，因此它为每个顶点提供了一级。因此，每个边对图的贡献度为二。因此，所有顶点的度数之和等于G中边数的两倍。

因此， _∑v∈Vdeg (v)= 2e