📜  数学 |证明简介

📅  最后修改于: 2021-09-28 09:30:07             🧑  作者: Mango

数学证明是我们在逻辑上给出的一个论证来验证数学陈述。为了验证语句,我们考虑两件事:语句逻辑运算符

一个陈述要么是真要么是假,但不能两者兼而有之。逻辑运算符是 AND、OR、NOT、If then 和 If and only if。再加上像 for all 这样的量词,就存在了。我们在语句上应用运算符来检查它的正确性。

数学证明的类型:

  1. 案例证明——
    在这种方法中,我们评估语句的每个案例以得出其真实性。

    示例:对于每个整数 x,整数 x(x + 1) 是偶数
    证明:如果 x 是偶数,那么对于某个数 k,x = 2k。现在语句变为:

    2k(2k + 1)

    能被 2 整除,所以是偶数。

    如果 x 是奇数,因此对于某个数字 k,x = 2k + 1,现在语句变为:

    (2k+1)(2k+1+1) = (2k + 1) 2(k  + 1)

    这又可以被 2 整除,因此在这两种情况下我们都证明了 x(x+1) 是偶数。

  2. 反证法——
    我们假设给定陈述的否定,然后继续得出结论。

    例子:证明 sqrt(2) 是无理数
    假设 sqrt(2) 是有理数。

    sqrt(2) = a/b 

    对于一些整数 a 和 b,b != 0。
    让我们用 sqrt(2) = a/b 选择整数 a 和 b,使得 b 为正且尽可能小。 (良序原则)

    a^2 = 2b^2 

    由于 a^2 是偶数,因此 a 是偶数。
    对于某个整数 k,a = 2k,所以 a^2 = 4k^2
    b^2 = 2k^2。由于 b^2 是偶数,因此 b 是偶数。
    由于 a 和 b 都是偶数,a/2 和 b/2 是整数且 b/2 > 0,并且 sqrt(2) = (a/2)/(b/2),因为 (a/2)/( b/2) = a/b。
    但这与我们的假设 b 尽可能小相矛盾。因此 sqrt(2) 不可能是理性的。

  3. 归纳证明——
    数学归纳原理(PMI)。令 P(n) 是关于正整数 n 的陈述。如果以下情况为真:

    1. P(1), 
    2. (for all n there exists Z+) P(n) implies P(n + 1), 
       then (for all n there exists Z+) P(n).

    示例:对于每个正整数 n,

    1 + 2 +···+ n = n(n + 1)/ 2 

    证明:
    基本情况:如果 n = 1,

    1 +  ··· + n = 1 

    n(n + 1)/2 = 11 

    归纳步骤:
    假设对于给定的 n 存在 Z+,

    1 + 2 +···+ n = n(n + 1)/ 2  ---- (i) (inductive hypothesis) 

    我们的目标是证明:

    1 + 2 +···+ n + (n + 1) = [n + 1]([n + 1] + 1)/ 2
    i.e. 1 + 2 +···+ n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) /2 

    等式(i)两边加上n + 1,我们得到,

    1 + 2 +···+ n + (n + 1) 
    = n(n + 1)/ 2 +  (n + 1)
    = n(n + 1) /2 + 2(n + 1) /2
    = (n + 2)(n + 1) /2 
  4. 直接证明——
    当我们想证明一个条件语句 p 蕴涵 q 时,我们假设 p 为真,并遵循蕴涵来证明 q 为真。
    它主要是假设三段论的应用,[(p → r) ∧ (r → q)] → (p → q)]
    我们只需要找到引导我们到 q 的命题。

    定理:如果 m 是偶数,n 是奇数,那么它们的和是奇数
    证明:
    由于 m 是偶数,因此存在一个整数 j,使得 m = 2j。
    由于 n 是奇数,因此存在一个整数 k,使得 n = 2k+1。然后,

    m+n = (2j)+(2k+1) = 2(j+k)+1 

    由于 j+k 是整数,我们看到 m+n 是奇数。