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📜  一些重要的数学证明

📅  最后修改于: 2021-09-22 10:50:23             🧑  作者: Mango

介绍 ：
证明是建立数学陈述真实性的有效论证。证明可以使用定理的假设(如果有的话)、假设为真的公理和先前证明的定理。使用这些成分和推理规则，证明的最后一步确定被证明陈述的真实性。但在这里我们将主要关注更非正式的证明。

证明定理的方法：
为了证明 ∀x ( P(x) –> Q(x) ) 形式的定理，我们的目标是证明 P(c) –> Q(c) 为真，其中 c 是域的任意元素，然后应用一个普遍的概括。

1. 直接证明法——
设 ∀x ( P(x) –> Q(x) ), D 为域。我们开始选择一个任意成员，比如 a ∈ D。然后，对于 a ，我们可以证明，
P(a) –> Q(a) 为真。
P(a) 为真。
然后，根据 Modus Ponens，Q(a) 为真。
然后，根据泛化规则 (u , G) ， ∀x ( P(x) –> Q(x) ) 为真。

例子 –

  1. 给出定理“如果 n 是奇数，则 n 2是奇数”的直接证明。
    解决方案 –
    请注意，该定理指出 ∀n (P(n) –> Q(n)) ，其中 P(n) 是“n 是奇数整数”，Q(n) 是“n 2是奇数”。根据奇数的定义，有 n=2k+1，其中 k 是某个整数。我们想证明 n2 是奇数。我们可以将方程n=2k+1 的两边平方，得到一个新的方程来表达n 2 。当我们这样做时，我们发现 n 2 =(2k+1) 2 =4k 2 +4k+1 = 2(2k 2 + 2k) + 1。根据奇数的定义，我们可以得出结论，n2 是一个奇数(它是整数的两倍多)。因此，我们已经证明如果n是奇数，那么n 2是奇数。
  2. 直接证明如果 m 和 n 都是完全平方数，那么 nm 也是一个完全平方数。
    解决方案 –
    假设 m 和 n 是奇数整数。然后，根据定义，对于某个整数 k，m = 2k + 1，对于某个整数 l，n = 2l + 1。再次注意，我们在 m 和 n 的定义中使用了不同的整数 k 和 l。我们现在将使用它来证明 mn 也是一个奇数。
    mn = (2k + 1)(2l + 1) 根据我们对 m 和 n 的定义
    = 4kl + 2k + 2l + 1 通过扩大括号
    = 2(2kl + k + l) + 1，因为 2 是公因数。
    因此，我们已经证明 mn 具有奇数的形式，因为 2kl + k + l 是一个整数。

2. 间接证明法——
考虑蕴涵 p –> q 。它等价于 ~q –> ~p。
为了证明 p –> q 为真，你可以证明 ~q –> ~p。称为间接证明或对立证明。

例子 –

  1. 证明若n为整数且3n+2为奇数，则n为奇数。
    解决方案 –
    对立证明的第一步是假设条件陈述的结论“如果 3n+2 是奇数，则 n 是奇数”。是假的；即，假设 n 是偶数。然后，根据偶数的定义，对于某个整数k，n=2k。用 2k 代替 n，我们发现 3n+2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k+1)。这告诉我们 3n+2 是偶数(因为它是 2 的倍数)，因此不是奇数。这是对定理假设的否定。因为条件语句的否定意味着假设为假，所以原始条件语句为真。我们的对位证明成功了；我们已经证明了定理“如果 3n+2 是奇数，那么 n 是奇数”。
  2. 证明如果 n = ab，其中 a 和 b 是正整数，则 a≤√n 或 b≤√n 。
    解决方案 –
    假设 b > √n 和 a > √n。
    ab > (√n) 。 (√n) = n
    所以，n≠ab。
    通过对立，如果 n=ab，则 a≤√n 或 b≤√n 。

3. 矛盾证明：
在这种情况下，我们假设结论不正确。然后我们得出了一些矛盾。

例子 –

  1. 通过反证法证明√2是无理的。
    解决方案 –
    假设√2是有理数。那么我们可以写成 √2 = a/b 其中 a, b 是整数，b 不是零。
    我们还假设这个 a/b 被简化为最低项，因为这显然可以用任何分数来完成。请注意，为了使 a/b 成为最简单的术语，a 和 b 不能是偶数。一个或两个必须是奇数。否则，我们可以进一步简化 a/b。
    从等式 √2 = a/b 得出 2 = a 2 /b 2 ，或 a 2 = 2 · b 2 。所以a的平方是偶数，因为它是某物的两倍。
    由此我们知道a本身也是偶数。为什么?因为它不可能是奇怪的；如果 a 本身是奇数，那么 a · a 也是奇数。奇数的奇数总是奇数。
    好的，如果 a 本身是偶数，那么 a 是其他整数的 2 倍。在符号中，a = 2k 其中 k 是另一个数字。我们不需要知道 k 是什么；没关系。很快矛盾就来了。
    如果我们将 a = 2k 代入原始方程 2 = a 2 /b 2 ，我们得到：
    2 = (2k) 2 /b 2
    2 = 4k 2 /b 2
    2*b 2 = 4k 2
    b 2 = 2k 2
    这意味着 b 2是偶数，由此又得出 b 本身是偶数。这就是矛盾！！！
    为什么这是一个矛盾?因为我们开始了整个过程，假设 a/b 被简化为较低的项，现在事实证明 a 和 b 都是偶数。我们以矛盾结束；因此我们最初的假设(√2 是有理的)是不正确的。因此，√2 不可能是有理数。
  2. 证明定理“如果 3n+2 是奇数，则 n 是奇数”的矛盾。
    解决方案 –
    设 3n + 2 是奇数，但 n 不是奇数。那么 n 是偶数，对于某个整数 m 可以写成 2m 的形式
    3n+2
    =3(2m)+2
    =6m+2
    =2(3m+1)
    ⟹3n+2 是偶数。这与我们的假设相矛盾。
    因此，n 必须是奇数。
    反之，设n为奇数，则对于某个整数m，n可以写成2m+1的形式。我们假设 3n + 2 是偶数。
    3n+2=3(2m+1)+2
    =6m+5=6m+4+1
    =2(3m+2)+1
    ⟹3 n + 2 是奇数。这与我们的假设相矛盾。
    因此，如果 n 是奇数，则 3n + 2 必定是奇数。

证明错误：
在构建数学证明时有许多常见的错误。我们将在这里简要描述其中的一些。

例子 –
1. 这个著名的假设“证明”1 = 2 有什么问题?
“证明：”我们使用这些步骤，其中 a 和 b 是两个相等的正整数。

S No.

Step

Reason
1. a = b Given
2. a2 = ab Multiply both sides of (1) by a 
3. a2 – b2 = ab – b2 Subtract b2 from both sides of (2) 
4 (a-b) (a + b) = b(a-b)  Factor both sides of (3)
5. a + b = b Divide both sides of (4) by a – b
6. 2b = b Replace a by b in (5) because a = b and simplify 
7. 2 = 1  Divide both sides of (6) by b

解决方案 –
除了第 5 步，我们将两边除以 (a – b) 之外的每一步都是有效的。错误是 (a – b) 等于 0；等式两边除以同一个量是有效的，只要这个量不为零。

2. 假设你想证明这个断言——
设 a, b, ∈ Z 其中 a = 1 mod 3 且 b = 2 mod 3。然后 (a + b) = 0 mod 3。

错误证明：
由于 a = 1 mod 3，Z 中有一个整数 k，使得 a = 3k + 1。由于 b = 2 mod 3，我们可以写成 b = 3k + 2。因此 a + b = (3k + 1) + (3k + 2) = 6k + 3 = 3(2k + 1)，所以 (a + b) = 0 mod 3。

证明中的错误：
尝试的证明假设 b = a + 1，因为 b − a = (3k + 2) − (3k + 1) = 1。所以该证明仅对 a 和 b 的有限选择集有效。

正确的证明：
由于 a = 1 mod 3，Z 中有一个整数 k，使得 a = 3k+1。由于 b = 2 mod 3，Z 中有一个整数 n，使得 b = 3n + 2。因此 a + b = (3k + 1) + (3n + 2) = 3k + 3n + 3 = 3(k + n + 1)，所以 (a + b) = 0 mod 3