数学 |证明简介

数学证明是我们在逻辑上给出的一个论证来验证数学陈述。为了验证语句，我们考虑两件事：语句和逻辑运算符。

一个陈述要么是真要么是假，但不能两者兼而有之。逻辑运算符是 AND、OR、NOT、If then 和 If and only if。再加上像 for all 这样的量词，就存在了。我们在语句上应用运算符来检查它的正确性。

数学证明的类型：

1. 案例证明——
   在这种方法中，我们评估语句的每个案例以得出其真实性。

   示例：对于每个整数 x，整数 x(x + 1) 是偶数
   证明：如果 x 是偶数，那么对于某个数 k，x = 2k。现在语句变为：

   2k(2k + 1)

   能被 2 整除，所以是偶数。

   如果 x 是奇数，因此对于某个数字 k，x = 2k + 1，现在语句变为：

   (2k+1)(2k+1+1) = (2k + 1) 2(k  + 1)

   这又可以被 2 整除，因此在这两种情况下我们都证明了 x(x+1) 是偶数。

2. 反证法——
   我们假设给定陈述的否定，然后继续得出结论。

   例子：证明 sqrt(2) 是无理数
   假设 sqrt(2) 是有理数。

   sqrt(2) = a/b 

   对于一些整数 a 和 b，b != 0。
   让我们用 sqrt(2) = a/b 选择整数 a 和 b，使得 b 为正且尽可能小。 (良序原则)

   a^2 = 2b^2 

   由于 a^2 是偶数，因此 a 是偶数。
   对于某个整数 k，a = 2k，所以 a^2 = 4k^2
   b^2 = 2k^2。由于 b^2 是偶数，因此 b 是偶数。
   由于 a 和 b 都是偶数，a/2 和 b/2 是整数且 b/2 > 0，并且 sqrt(2) = (a/2)/(b/2)，因为 (a/2)/( b/2) = a/b。
   但这与我们的假设 b 尽可能小相矛盾。因此 sqrt(2) 不可能是理性的。

3. 归纳证明——
   数学归纳原理(PMI)。令 P(n) 是关于正整数 n 的陈述。如果以下情况为真：

   1. P(1), 
   2. (for all n there exists Z+) P(n) implies P(n + 1), 
      then (for all n there exists Z+) P(n).

   示例：对于每个正整数 n，

   1 + 2 +···+ n = n(n + 1)/ 2 

   证明：
   基本情况：如果 n = 1，

   1 +  ··· + n = 1 

   和

   n(n + 1)/2 = 11 

   归纳步骤：
   假设对于给定的 n 存在 Z+，

   1 + 2 +···+ n = n(n + 1)/ 2  ---- (i) (inductive hypothesis) 

   我们的目标是证明：

   1 + 2 +···+ n + (n + 1) = [n + 1]([n + 1] + 1)/ 2
   i.e. 1 + 2 +···+ n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2) /2 

   等式(i)两边加上n + 1，我们得到，

   1 + 2 +···+ n + (n + 1) 
   = n(n + 1)/ 2 +  (n + 1)
   = n(n + 1) /2 + 2(n + 1) /2
   = (n + 2)(n + 1) /2 

4. 直接证明——
   当我们想证明一个条件语句 p 蕴涵 q 时，我们假设 p 为真，并遵循蕴涵来证明 q 为真。
   它主要是假设三段论的应用，[(p → r) ∧ (r → q)] → (p → q)]
   我们只需要找到引导我们到 q 的命题。

   定理：如果 m 是偶数，n 是奇数，那么它们的和是奇数
   证明：
   由于 m 是偶数，因此存在一个整数 j，使得 m = 2j。
   由于 n 是奇数，因此存在一个整数 k，使得 n = 2k+1。然后，

   m+n = (2j)+(2k+1) = 2(j+k)+1 

   由于 j+k 是整数，我们看到 m+n 是奇数。