随机变量基本上是一个函数，它从一组样本空间映射到一组实数。目的是了解特定情况的结果，在这种情况下，我们被赋予了不同结果的概率。请参阅下面的示例以获得更清晰的信息。
例子 ：
Suppose that two coins (unbiased) are tossed
X = number of heads. [X is a random variable
or function]
Here, the sample space S = {HH, HT, TH, TT}.
The output of the function will be :
X(HH) = 2
X(HT) = 1
X(TH) = 1
X(TT) = 0
正式定义：
X：S -> R
X = 随机变量(通常用大写字母表示)
S = 样本空间集
R = 实数集
假设一个随机变量 X 取 m 个不同的值，即样本空间 X = {x1, x2, x3………xm}，概率为 P(X=xi) = pi；其中 1 ≤ i ≤ m。概率必须满足以下条件：
- 0 <= pi <= 1;其中 1 <= i <= m
- p1 + p2 + p3 + ……. + pm = 1 或者我们可以说 0 ≤ pi ≤ 1 和 ∑pi = 1。
因此，随机变量 X 的可能值为 0、1、2。
X = {0, 1, 2} 其中 m = 3
P(X=0) = 正面数为 0 的概率 = P(TT) = 1/2*1/2 = 1⁄4。
P(X=1) = 正面数为 1 的概率 = P(HT | TH) = 1/2*1/2 + 1/2*1/2 = 1⁄2。
P(X=2) = 正面数为 2 的概率 = P(HH) = 1/2*1/2 = 1⁄4。
在这里，你可以观察到
1) 0 ≤ p1, p2, p3 ≤ 1
2) p1 + p2 + p3 = 1/4 + 2/4 + 1/4 = 1
例子 ：
假设掷骰子 X = 骰子的结果。这里，样本空间 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。该函数的输出将是：
- P(X=1) = 1/6
- P(X=2) = 1/6
- P(X=3) = 1/6
- P(X=4) = 1/6
- P(X=5) = 1/6
- P(X=6) = 1/6
看看是否有任何随机变量，那么一定有一些与之相关的分布。
离散随机变量：
如果随机变量 X 取有限数量的值，则称它是离散的。与之相关的概率函数被称为 PMF = Probability mass 函数。
P(xi) = X = xi = X = pi 的 PMF 的概率。
- 0 ≤ pi ≤ 1。
- ∑pi = 1 其中 sum 取自所有可能的 x 值。
上面给出的例子是离散随机变量。
示例：-让 S = {0, 1, 2} 
求 P (X=0) 的值：
Sol:-我们知道所有概率的总和等于 1。
==> p1 + p2 + p3 = 1
==> p1 + 0.3 + 0.5 = 1
==> p1 = 0.2
连续随机变量：
如果随机变量 X 具有无限数量的值，则称它是连续的。与之相关的概率函数被称为 PDF = 概率密度函数
PDF：如果 X 是连续随机变量。
P (x < X < x + dx) = f(x)*dx。
- 0 ≤ f(x) ≤ 1；对于所有 x
- ∫ f(x) dx = 1 在 x 的所有值上
那么 P (X) 被称为分布的 PDF。
示例：-计算 P (1 < X < 2) 的值。
Such that f(x) = k*x^3; 0 ≤ x ≤ 3
= 0; otherwise
f(x) is a density function
解决方案：-如果函数f 被称为密度函数，则所有概率的总和等于 1。由于它是连续随机变量 积分值为 1 整个样本空间 s。
==> K*[x^4]/4 = 1 [注意[x^4]/4是x^3的积分]
==> K*[3^4 – 0^4]/4 = 1
==> K = 4/81
P 的值 (1 < X < 2) = k*[X^4]/4 = 4/81 * [16-1]/4 = 15/81。
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