二项式随机变量和二项式分布–概率

介绍

本文主要介绍二项式随机变量的概念、二项式分布的定义以及相关的概率计算方法。二项式分布是一种在n个独立的Beroulli试验中成功次数的概率分布。

二项式随机变量

在n次独立的Bernoulli试验中，每次实验成功概率为p，失败概率为1-p。则定义这n次试验中成功次数X是一个二项式随机变量。它的取值范围为 {0, 1, 2, ..., n}。

二项式分布

二项式分布是在n次独立Bernoulli试验中成功k次的概率分布。它的概率密度函数为：

%20=%20{ n\choose%20k}p^k(1-p)^{n-k})

其中， 代表独立的Bernoulli试验次数，代表每次实验成功的概率，代表成功次数。

概率计算

对于二项式分布，我们可以使用以下公式来进行概率计算：

• 期望：
• 方差：
• 累积分布函数：
• 概率质量函数：%20=%20{ n\choose%20k}p^k(1-p)^{n-k})

代码示例

import math

# 计算期望
def expected_value(n, p):
    return n * p

# 计算方差
def variance(n, p):
    return n * p * (1 - p)

# 计算组合数(C(n, k))
def binomial_coefficient(n, k):
    return math.comb(n, k)

# 计算二项式分布概率质量函数
def binomial_pmf(k, n, p):
    return binomial_coefficient(n, k) * math.pow(p, k) * math.pow(1 - p, n - k)

# 计算二项式分布累积分布函数
def binomial_cdf(k, n, p):
    cdf = 0
    for i in range(k + 1):
        cdf += binomial_pmf(i, n, p)
    return cdf

# 计算二项式分布的平均值、方差、标准差
def calculate_binomial(n, p):
    mean = expected_value(n, p)
    var = variance(n, p)
    std = math.sqrt(var)
    return mean, var, std

n = 10  # 独立Bernoulli试验次数为10
p = 0.5  # 每次实验成功的概率为0.5
k = 5  # 成功次数为5

print('二项式分布的平均值、方差、标准差为：', calculate_binomial(n, p))
print('二项式分布概率质量函数为：', binomial_pmf(k, n, p))
print('二项式分布累积分布函数为：', binomial_cdf(k, n, p))

返回结果为：

二项式分布的平均值、方差、标准差为： (5.0, 2.5, 1.5811388300841898)
二项式分布概率质量函数为： 0.24609375
二项式分布累积分布函数为： 0.623046875

上述代码演示了如何使用 Python 计算二项式分布的期望、方差、概率质量函数、累积分布函数等概率问题。