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📜  二项式随机变量和二项式分布–概率| 12年级数学

📅  最后修改于: 2021-06-24 21:19:39             🧑  作者: Mango

二项式随机变量可以由两个可能的结果定义，例如“成功”和“失败”。例如，考虑滚动一个公平的六边形模具并记录面值。二项式分布公式可以用于计算二项式分布成功的概率。通常，它会将数字“插入”到公式中并计算所需的值。

二项式分布基于以下特征：

  • 该实验包含n个相同的试验。
  • 每个试验都会得出成功或失败这两个结果之一。
  • 每次试验的成功概率用p表示，均保持不变。
  • 所有的n个试验都是独立的。

识别二项式变量

为了识别二项式变量，以下条件适用：

  • 固定的试用次数。
  • 每次审判都是相互独立的。
  • 每个线索都有两种可能性。
    • 成功
    • 失败
  • 成功概率由(p)定义，失败概率由(1-q)定义。

例如，考虑以下实例

一枚公平的硬币被掷了20次; X表示磁头数。

X是二项式，n = 20，p = 0.5。

如果满足上述四个条件，则试验中的随机变量(n)=成功次数(p)是一个二项式随机变量，其中

  • 平均值(期望值)为：μ=Σxp
  • 方差为：VAR(X)=ΣX2个P – μ2
  • 标准偏差为：σ=√Var(X)

假定独立的百分之十规则

假设独立性的10％条件定义样本数量不应超过总体的10％。

10％的假定独立性规则条件通常适用于以下情况：

  • 在抽取样品时不需更换。例如，在中心极限定理中。
  • 当两组有比例时
  • 解决非常小的人口或非常大的样本的均值差异。
  • 在处理伯努利审判时。

该条件适用于伯努利试验，其中您取样的绝大多数病例都无需更换。

二项分布

二项式分布定义为多次重复进行的实验中成功或失败结果的概率。例如，在投掷硬币时，正面或反面进行测试可能会产生两种可能的结果-通过或失败。

在二项式中，实验运行的次数用n表示

一个特定结果的概率由p表示。

例如，在一个实验中知道在压模辊上得到5的概率。如果您要掷骰子10次，那么在任何掷骰子上掷骰子的机率是1/6。滚动十次，您的二项式分布为(n = 10，p = 1/6)。

成功=如果骰子上的掷骰数为5。

失败=如果掷骰子不是5。

二项式分布公式为：

在哪里：

  • b =定义为二项式概率
  • x =“成功”的总数(通过或失败，正面或反面等)
  • P =个别试验成功的概率
  • n =定义试验次数

二项式分布的可视化

考虑n独立二项分布的试验。 “ n”项独立试验的成功由参数n和p的二项式分布中的概率“ p”定义。

例如，在抛掷公平硬币的实验中。抛硬币20次时的正数具有参数的二项式分布

n = 20，p = 50％。

如果满足以下四个条件，则随机变量为二项式：

  • 固定试验次数= n
  • 每个试验都有两个可能的结果：
    • 成功
    • 失败。
  • 成功的概率表示为= p
  • 所有试验均应独立进行，这意味着一条试验路线的输出不应依赖于其他试验。

二项式分布示例

在一个将公平硬币抛掷10次的实验中，准确地获得6个正面的概率可以计算为：

例子：

试验次数(n)= 10

成功(“向前扔”)= 0.5

q = 1 – p = 0.5，x = 6

解决方案：

在n次尝试中概括k个分数

二项式概率公式：

P(X=k)=Success^{times}. Failure^{times}.\binom{n}{k}

然后将以上结果求解为

P(X=k)=\binom{n}{k}.Success^{k}. Failure^{n-k}

它也可以简单地写成

P(X = r) = Combinations × P(yes) × P(no)

组合，这是公式：

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

二项分布的推导

二项式分布的结果通常表示为“成功”和“失败”。用于表示这种符号的常用符号是

  • p =成功的概率，
  • q =失败概率= 1 – p

因此，p + q = 1。

在伯努利试验中，每次重复实验仅涉及2个结果。

  1. 独立–在这种情况下，一个试验的结果不会影响另一试验的结果。
  2. 重复–在这种情况下，每次试验的条件均保持不变。它指出p和q在整个试验中保持不变。

在二项分布中，

感兴趣的概率是指获得一定成功次数的概率= r，

在n个独立试验中，每个试验只有两个可能的结果以及成功的相同概率p。

  • 接下来定义的是表示N个不同事物可以按以下顺序排列的不同方式的数量：
N! = (1)(2)(3)...(N-1)(N), (where 0! = 1)
  • 下面提到的是选择r个N个对象的不同组合的方法的数量，与有效顺序无关，表示为

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

让我们将binom {n-1} {k-1}应用于此表达式，并简化结果如下所示：

\binom{n-1}{k-1} = \frac{(n-1)!}{((n-1)-(k-1))!(k-1)!} [Tex] = \ frac {(n-1)！} {(nk)！(k-1)！} [/ Tex]

此外，

\binom{n-1}{k-1}=\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}

遵循阶乘函数的属性，如下所示：

x! = x.(x-1)!

使用以上公式得出二项式系数的性质，

\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n(n-1)!}{(n-k)!k(k-1)!}

现在使用乘法的交换性质(x。y = y。x)，可以将右侧重写为：

\frac{n}{k}.\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}

现在，使用上面的等式，我们可以等价，

k.\binom{n}{k}=k.\frac{n}{k}\frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!} [Tex] = n。\ frac {(n-1)！} {(nk)！(k-1)！} [/ Tex]

现在，最终身份可以推断为：

k.\binom{n}{k} = n.\binom{n-1}{k-1}

罚球二项式分布

考虑一种方案，在您的高中篮球队中找到最佳罚球手。为了找到一个赛季的罚球命中率，使用罚球二项式分布

为此，请考虑绘制二项分布图的示例：

考虑变量p，它将代表最佳罚球手的罚球百分比。如果投篮的准确性是90％

然后p = 0.9，p表示“成功”的可能性

为了找出运动员的罚球率为90％的情况，他有10出3球的概率。

  • 使用二项式：
b(x; n, P) – nCx * Px * (1 – P)n – x
  • 使用计算器：binompdf(10，0.90，3)。

例子：

P(X=3)=\binom{10}{3}(9)^{3}(1)^{7}

类似地，通过计算从P(X = 2)到P(X = 10)的值，可以获得以下值：

解决方案：

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P(X) .006 .04 .121 .215 .251 .201 .111 .042 .011 .002 .000

考虑上述值，得出以下图表：

二项式分布n = 10，p = 2

Binompdf和binomcdf函数

TI 83或84计算器上的binompdf函数用于查找恰好一定数量成功的概率。

P(X = c)= Binompdf(n，p，c)

在哪里，

例子：一个公平的硬币被扔了100次。头正好出现52次的binompdf概率是多少?

解决方案：使用二项式公式，

P(X=k)=\binom{n}{k}.Success^{k}. Failure^{n-k}

= binompdf(试验次数，发生概率，特定事件数)

= Binompdf(n，p，r)

TI-84计算器上的binomcdf函数。它可以用于解决概率小于或等于一定数量的试验中成功次数的问题。

示例：要计算100次试验中小于或等于45次成功的概率，请使用以下方法。

P(X = c)= binomcdf(n，p，c)

在哪里，

例子4：一个公平的硬币被扔了100次。 binomcdf最多有52个头的概率是多少?

解决方案：

binomcdf(试验次数，发生概率，特定事件数)

= binomcdf(n，p，r)

示例：在汉堡店中，有70％的人喜欢吃非素食汉堡，而其他人则喜欢吃其他东西。向接下来的3个客户出售2个非素食汉堡的概率是多少?

解决方案：