二进制数系统算术加法的溢出

在计算机体系结构中，2 的补数系统被广泛使用。这里对溢出的讨论主要是针对2的免费系统。

N 位 2 的补数系统可以表示数从$- 2^{n-1}$到$2^{n-1} -1$
4 位可以表示从( -8 到 7 ) 的数字
5 位可以表示 2 的免费系统中从 (-16 到 15) 的数字。

当添加 2 个 N 位 2 的补数并且答案太大而无法放入该 N 位组时，会发生溢出。

计算机具有 N 位固定寄存器。两个 N 位编号相加将导致最大 N+1 位编号。该额外位存储在进位标志中。但进位并不总是表示溢出。

4 位加 7 + 1 必须等于 8。但 8 不能用 4 位 2 的补数表示，因为它超出了范围。添加了两个正数，我们得到的答案是负数 (-8)。这里的进位也是0。这种情况通常留给程序员检测溢出并处理。

溢出检测——
溢出发生在：

1. 两个负数相加，答案为正数或
2. 两个正数相加，答案是否定的。

因此可以通过检查两个操作数的最高位(MSB)并回答来检测溢出。但是，除了使用 3 位比较器，也可以使用 2 位比较器检测溢出，只需检查来自 MSB 的进位(C-in)和进位(C-out)即可。考虑 2 的补数的 N 位加法。

C-in 时发生溢出$\neq$ C输出。上面的溢出表达式可以从下面的分析中解释。

在第一个图中，两个数字的 MSB 为 0，这意味着它们是正数。这里如果C-in 是 1，我们得到答案的 MSB 作为 1 意味着答案是否定的(溢出)和C-out 为 0。 C-in $\neq$ C-out 因此溢出。

在第二个图中，两个数字的 MSB 是 1，这意味着它们是负数。这里如果C-in 是 0，我们得到答案 MSB 作为 0 意味着答案是肯定的(溢出)和C-out 为 1。 C-in $\neq$ C-out 因此溢出。
读者还可以尝试 c-in c-out 和 MSB 的其他组合来检查溢出。

因此，MSB 处的进位和进位足以检测溢出。

以上异或门可用于检测溢出。