图G是一组顶点和一组连接这些顶点的边的集合。它由两组组成：
- 顶点集： V = {v1, v2, …, vn}
- 边集： E = {e1, e2, …, en}
图 G 表示为 G = (V, E)。
图的同态：图同态是两个图之间的映射，尊重它们的结构，即将一个图的相邻顶点映射到另一个图的相邻顶点。从图G到图H 的同态是从V G到V H 的映射 这需要边到边。
定义：从图G = (V, E)到图G’ = (V’, E’)的图同态F写为：
f : G –> G’
It is a mapping f: V –> V’ from the vertex set of G to the vertex set of G’ such that {u, v} ∈ E ⇒ {f(u), f(v) ∈ E’
上述定义扩展到有向图。然后，对于同态 f： G –> G’ 是； {f(u), f(v)} 是G’的弧，仅当(u, v)是 G的弧。如果存在同态； f: G –> G’ ，则写成G–>G’ G 被称为G’同态。
同构：如果同态 f: G –> G’ 是一个双射（一一映射），其逆也是图同态，则 f 是图同构。
示例 1：下面是 2 个图 G = (V, E)，其中 V = {a, b, c, d, e} 和 E = {(a, b), (b, c), (c, d) , (d, e), (e, a)} 和 G’ = (V’, E’) 其中 V’ = {x, y, z} 和 E’ = {(x, y), (y, z ), (z, x)}。
存在一个映射 f: G –> G’使得 {u, v} ∈ E ⇒ {f(u), f(v)} ∈ E’。
解决方案：
假设 f(a) = x, f(b) = y, f(c) = z, f(d) = x 和 f(e) = z。
- 如果 (a, b) 是 G 中的一条边，那么 (f(a), f(b)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(a) = x and f(b) = y ⇒ (f(a), f(b)) = (x, y) ∈ E'- 如果 (b, c) 是 G 中的一条边，那么 (f(b), f(c)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(b) = y and f(c) = z ⇒ (f(b), f(c)) = (y, z) ∈ E'- 如果 (c, d) 是 G 中的一条边，那么 (f(c), f(d)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(c) = z and f(d) = x ⇒ (f(c), f(d)) = (z, x) ∈ E'- 如果 (d, e) 是 G 中的一条边，那么 (f(d), f(e)) 必须是 E’ 中的一条边
f(d) = x and f(e) = z ⇒ (f(d), f(e)) = (x, z) ∈ E'- 如果 (e, a) 是 G 中的一条边，那么 (f(e), f(a)) 必须是 E’ 中的一条边
f(e) = z and f(a) = x ⇒ (f(c), f(d)) = (z, x) ∈ E'因此，可以看出∀{u, v} ∈ E ⇒ ∃{f(u), f(v)} ∈ E’。所以 f 是同态。
示例 2：下面是 2 个图 G = (V, E)，其中 V = {a, b, c, d, e, h} 和 E = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, e), (e, h), (f, a) } 和 G’ = (V’, E’) 且 V’ = {1, 2, 3, 4} 和
E’ = { (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2)}。
存在一个映射： G–> G’ 使得 {u, v} ∈ E ⇒ {f(u), f(v)} ∈ E’。
解决方案：
假设 f(a) = 1, f(b) = 4, f(c) = 2, f(d) = 4, f(e) = 2 and f(h) = 4。
- 如果 (a, b) 是 G 中的一条边，那么 (f(a), f(b)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(a) = 1 and f(b) = 4 ⇒ (f(a), f(b)) = (1, 4) ∈ E'- 如果 (b, c) 是 G 中的一条边，那么 (f(b), f(c)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(b) = 4 and f(c) = 2 ⇒ (f(b), f(c)) = (4, 2) ∈ E'- 如果 (c, d) 是 G 中的一条边，那么 (f(c), f(d)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(c) = 2 and f(d) = 4 ⇒ (f(c), f(d)) = (2, 4) ∈ E'.
Note- (2, 4) is the same as (4, 2).- 如果 (d, e) 是 G 中的一条边，那么 (f(d), f(e)) 必定是 E’ 中的一条边。
f(d) = 4 and f(e) = 2 ⇒ (f(d), f(e)) = (4, 2) ∈ E'- 如果 (e, h) 是 G 中的一条边，那么 (f(e), f(h)) 必须是 E’ 中的一条边。
f(e) = 2 and f(a) = 4 ⇒ (f(c), f(d)) = (2, 4) ∈ E'- 如果 (h, a) 是 G 中的一条边，那么 (f(h), f(a)) 必定是 E’ 中的一条边。
f(h) = 4 and f(a) = 1 ⇒ (f(c), f(d)) = (4, 1) ∈ E'因此，可以看出∀{u, v} ∈ E ⇒ ∃{f(u), f(v)} ∈ E’。所以 f 是同态。
A homomorphism from a graph G to a graph H is a map from VG to VH which maps:
- Edges to Edges.
- Non-Edges to vertex, edge or non-edge.
示例 3：下面是 2 个图 G = (V, E)，其中 V = {a, b, c, d, e} 和 E = {(a, b), (b, c), (d, e) , (e, h)} 和 G’ = (V’, E’) 其中 V’ = {1, 2} 和 E’ = { (1, 2)}。
解决方案：
假设 f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 1, f(d) = 2, f(e) = 1
- 如果 (a, b) 是 G 中的一条边，那么 (f(a), f(b)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(a) = 1 and f(b) = 2 ⇒ (f(a), f(b)) = (1, 2) ∈ E'- 如果 (b, c) 是 G 中的一条边，那么 (f(b), f(c)) 一定是 E’ 中的一条边。
f(b) = 2 and f(c) = 1 ⇒ (f(b), f(c)) = (2, 1) ∈ E'- 如果 (d, e) 是 G 中的一条边，那么 (f(d), f(e)) 必定是 E’ 中的一条边。
f(d) = 2 and f(e) = 1 ⇒ (f(d), f(e)) = (2, 1) ∈ E'在这里，可以看出(b, e)不是G中的一条边，但是(fb), f(e) ) = (2, 1)是图G’中的一条边。
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